Övningar till Rotekvationer och högre gradsekvationer
| Teori | Övningar | Test |
G-övningar: 1-3
Övning 1
Lös följande rotekvationer:
a) \( \sqrt{x} = 9 \)
b) \( \sqrt{x} = - 9 \)
c) \( 5 - \sqrt{x} = 1 \)
Hämtar...Alternativt:
- Svar 1a | Lösning 1a | Svar 1b | Lösning 1b | Svar 1c | Lösning 1c
Övning 2
Lös följande ekvationer med den metod som förklaras i teoridelen.
a) \( 2\,\sqrt{x} - x = 1 \)
b) \( x + \sqrt{5\,x - 1} = 3 \)
c) \( 6\,x - 3\,\sqrt{9+x} = -9 \)
Alternativt:
- Svar 2a | Lösning 2a | Svar 2b | Lösning 2b | Svar 2c | Lösning 2c
Övning 3
Lös följande rotekvationer:
a) \( x = \sqrt{x+7} - 1 \)
b) \( {x + \sqrt{x} \over 7} = 6 \)
c) \( 2\,(x + 8) = 9\,\sqrt{4\,x} \)
Alternativt:
- Svar 3a | Lösning 3a | Svar 3b | Lösning 3b | Svar 3c | Lösning 3c
VG-övningar: 4-8
Övning 4
Lös rotekvationen
a) \( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)
b) Rita graferna till funktionerna \( y_1 = \sqrt{x^2 + 1} \) och \( y_2 = x - 3\, \) i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -10, Xmax = 10, Xscl = 2, Ymin = -10, Ymax = 10, Yscl = 2. Motivera ditt svar i a) med hjälp av graferna.
c) Rita graferna till funktionerna \( \displaystyle y_1 = x^2 + 1 \) och \( y_2 = (x - 3)^2\, \) i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -3, Xmax = 6, Xscl = 1, Ymin = 0, Ymax = 10, Yscl = 1. Tolka resultatet.
Alternativt:
Övning 5
a) Modifiera rotekvationen
\( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)
i övning 4 så att den får en lösning genom att titta på grafen som du (förhoppningsvis) ritade i övning 4b. Rita graferna till funktionerna på bägge leden av den modifierade rotekvationen i ett och samma koordinatsystem så att man ser lösningen grafiskt. Använd samma inställningar för WINDOW i din grafritande räknare som i övning 4b.
b) Lös den modifierade rotekvationen algebraiskt. Ange svaret med 2 decimalers noggrannhet.
Alternativt:
- Svar 5a | Lösning 5a | Svar 5b | Lösning 5b
Övning 6
Lös ekvationen
\( x^4 - 29\;x^2 = -100 \)
Alternativt:
Övning 7
Lös följande ekvation, som är samma som i övning 2a, här med substitutionen \( t = \sqrt{x} \).
\( 2\,\sqrt{x} - x = 1 \)
Alternativt:
Övning 8
Lös följande ekvation och ange svaret med två decimaler\[ x\,\sqrt{x}\, + 4 = 8 \]
Alternativt:
MVG-övningar: 9-13
Övning 9
Lös följande rotekvation exakt\[ 2 = - { x \over \sqrt{1-x^2} } \]
Alternativt:
Övning 10
Lös följande ekvation exakt genom att använda en lämplig substitution\[ {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} \]
Alternativt:
Övning 11
Lös följande 4:e gradsekvation med en lämplig substitution\[ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2}\,-\,(x^2 + 4\,x + 1) \]
Alternativt:
Övning 12
Lös ekvationen
\( \sqrt{ x + 2 + \sqrt{2\;x + 7}} = 4 \)
Alternativt:
Övning 13
Undersök om följande ekvation har en lösning. Om ja ange den. Om nej motivera\[ 6\;x = 1 - \sqrt{ 36\;x^2 - {1 \over x} } \]
Alternativt:
Facit
1a)
\( \displaystyle 81 \)
1b)
Ekvationen saknar lösning.
1c)
\( x = 16\, \)
2a)
\( x = 1\, \)
2b)
\( x = 1\, \)
2c)
\( x = 0\, \)
3a)
\( x = 2\, \)
3b)
\( x = 36\, \)
3c)
\( x_1 = 64\, \)
\( x_2 = 1\, \)
4a)
Ekvationen saknar lösning.
4b)
Graferna till \( y_1 = \sqrt{x^2 + 1} \) och \( \displaystyle y_2 = x - 3 \) ritade i samma koordinatsystem:
Bilden visar att kurvan \( y_1 = \sqrt{x^2 + 1} \) (blå) och linjen \( \displaystyle y_2 = x - 3 \) (grön) inte skär varandra. Dvs de har ingen gemensam punkt där deras funktionsvärden överensstämmer.
Detta bekräftar att ekvationen
\( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)
saknar lösning vilket visades i lösningen till övning 4a.
4c)
Graferna till \( \displaystyle y_1 = x^2 + 1 \) och \( \displaystyle y_2 = (x - 3)^2 \) ritade i samma koordinatsystem:
Bilden visar att kurvorna \( \displaystyle y_1 = x^2 + 1 \) (blå) och \( \displaystyle y_2 = (x - 3)^2 \) (grön) skär varandra i en punkt. Detta innebär att ekvationen
\( \displaystyle x^2 + 1 = (x - 3)^2 \)
har en lösning som kan avläsas från grafen till ca. \( \displaystyle x \approx 1,3 \). Men denna ekvation uppstår när man kvadrerar den ursprungliga rotekvationen
\( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)
Dvs den kvadrerade ekvationen har en lösning som är den ursprungliga rotekvationens falska rot som är exakt \( \displaystyle x = {4 \over 3} \) vilket visades i lösningen till övning 4a.
5a)
Den modifierade ekvationen är\[ \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 \]
5b)
\( x = 1,64\, \)
6)
Ekvationen
\( x^4 - 29\;x^2 = -100 \)
har lösningarna\[ x_1 = 5\, \]
\( x_2 = -5\, \)
\( x_3 = 2\, \)
\( x_4 = -2\, \)
7)
\( x = 1\, \)
8)
\( x = 2,52\, \)
9)
\( x = - \; { 2 \over \sqrt{5} } \)
10)
\( x = {1 \over 289} \)
11)
\( x_1\, = 0 \)
\( x_2\, = -4 \)
\( x_3\, = -2 \)
12)
\( x = 9\, \)
13)
\( x = -{1 \over 4} \)
Copyright © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
