1.1 Lösning 7

I ekvationen

\( 2\,\sqrt{x} - x = 1 \)

inför vi den nya variabeln \( t = \sqrt{x} \) (substitution) vilket ger upphov till \( t^2 = x\, \) när det hela kvadreras.

Ersätter vi i ekvationen ovan \( \sqrt{x} \) med \( t\, \) och \( x\, \) med \( t^2\, \) får vi\[\begin{align} 2\,t - t^2 & = 1 & | \, + t^2 \\ 2\,t & = t^2 + 1 & | -2t \\ 0 & = t^2 - 2 t + 1 \\ t_{1,2} & = 1 \pm \sqrt{1 - 1} \\ t & = 1 \\ \end{align}\]

Sätter vi tillbaka det erhållna resultatet \( t = 1\, \) i substitutionen som vi gjorde i början\[ 1 = \sqrt{x} \] och kvadrerar båda sidor får vi lösningen \( x = 1\, \).

Prövning:

VL\[ 2\,\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1 \]

HL\[ \displaystyle 1 \]

VL = HL \( \Rightarrow\, x = 1 \) är rotekvationens lösning.