1.6 Absolutbelopp
| << Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa demoavsnitt >> |
Några exempel på absolutbelopp
Exempel 1 Åldersskillnad
En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för att åldersskillnaden mellan två partner ska vara \( \, < \, 6 \, \) år.
I sina webbformulär använder de följande formel som ger utskrifterna till höger
efter att några kunder skickat in sina uppgifter:
\( \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, \) |
\( \qquad\qquad \) | \( 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 \)
\( 26 \quad - \quad 22 \quad = \quad 4 \) \( 23 \quad - \quad 30 \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{-7}}} \) |
\( \quad \) | \( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} \)
\( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} \) \( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{ok}}}} \) |
Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten konstaterar att den sista utskriften ger fel resultat: Åldersskillnaden är \( \, > \, 6 \, \) år.
Felet beror på att negativ åldersskillnad inte är meningsfull. Åldersskillnad måste alltid vara positiv.
Lovisa som lärt sig absolutbelopp på Matte 3-kursen föreslår att man ändrar formeln. Efter ändringen blir det så här:
\( { \color{Red} |} \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, { \color{Red} |} \) |
\( \qquad\quad \) | \( { \color{Red} |} \, 25 \quad - \quad 20 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 5 \)
\( { \color{Red} |} \, 26 \quad - \quad 22 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 \) \( { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{7}}} \) |
\( \quad \) | \( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} \)
\( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} \) \( {\color{Red} {\bf{>}}} \,\; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{inte\;ok}}}} \) |
Nu stämmer det, vilket beror på att Lovisa infogade de två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) i formeln, vilket korrigerade den sista utskriften:
- \[ { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 7 \]
\( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) tar bort minustecknet från \( -7\, \) och ger \( 7\, \). Därför: \( { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} = 7 \).
De två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) som skrivs kring ett tal eller ett uttryck, kallas för absolutbelopp och betyder:
- Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal och låta ett positivt tal vara oförändrat.
Kortare: Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde, t.ex.:
|
\( \qquad\quad \) |
|
\( \qquad\quad \) |
|
\( \qquad\quad \) |
|
Absolutbelopp lämpar sig för att modellera storheter som till sin natur är positiva som t.ex. åldersskillnad.
Andra exempel är avstånd, längd, area, volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, \( \, \ldots \; \).
Vi tittar närmare på avstånd:
Exempel 2 Avstånd mellan två tal
Vad är avståndet mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \)? Svar: \( \quad 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \)
Vad är då avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \)? Gör man samma sak blir svaret: \( \quad -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \)
Men vi vet att avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \) är \( 3 \, \) och inte \( -3 \, \). Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.
Korrekt svar:
- \[ {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]
Fortfarande dras talen av från varandra, men absolutbelopp kring subtraktionen gör att resultatet blir positivt.
Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:
- \[ { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]
Generellt gäller:
Absolutbeloppet \( \; | \, a - b \, | \; \) är avståndet mellan talen \( \, a \, \) och \( \, b \, \).
Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller: \( \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | \)
Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är \( \, 0 \, \):
Exempel 3 Avstånd från \( \, 0 \, \)
Om vi i den nya definitionen för avstånd \( \, | \, a - b \, | \, \) sätter in \( a = 0 \, \) och \( b = -5 \, \) för att beräkna avståndet mellan \( 0 \, \) och \( -5 \, \) får vi:
- \[ | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 \]
Och tar vi \( \, | \, b - a \, | \, \) blir det samma resultat:
- \[ | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 \]
\( 5 \, \) är alltså talet \( \, -5\):s avstånd från \( 0 \, \).
Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal, även för komplexa (se exemplet \( | \, i \, | = 1 \) ovan och motivera!):
Absolutbeloppet \( \; | \, a \, | \; \) är talet \( a\):s avstånd från 0.
Alla hittills nämnda tolkningar av absolutbeloppet är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet.
Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:
Allmän definition, funktion och graf
| Absolutbeloppet \( \; | \, x \, | \; \) av ett tal \( x\, \) definieras genom:
Grafen till funktionen \( \; y = | \, x \, | \; \) ser ut så här: |
\( \qquad \) |  |
Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla \( x \, \).
OBS! I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.
Exempel 1:
- Vad är \( | \, 7 \, | \) enligt definitionen ovan?
- Eftersom \( x = 7 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, 7 \, | = 7\, \).
- Svar: \( \; | \, 7 \, | = 7 \).
Exempel 2:
- Vad är \( | \, - 5 \, | \) enligt definitionen ovan?
- Eftersom \( x = -5 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 \).
- Svar: \( \; | \, - 5 \, | = 5 \).
Exempel 3:
- Vad är \( | \, 0 \, | \) enligt definitionen ovan?
- Eftersom \( x = 0 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, 0 \, | = 0\, \).
- Svar: \( \; | \, 0 \, | = 0 \).
Exempel 4:
- Vad är \( | \, a + 2 \, | \) enligt definitionen ovan?
- Eftersom vi inte känner till \( \, a\):s värde och därför inte vet om \( \, a + 2 \) blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:
- Fall 1 \( \quad a + 2 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a \geq -2 \)
- Eftersom \( x = a + 2 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | = a + 2\, \).
- Fall 2 \( \quad a + 2 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a < -2 \)
- Eftersom \( \; x = a + 2 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, \).
- Svar: \( \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\ -a-2 & \mbox{om } a < -2 \\ \end{cases} \)
Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.
Ekvationer med absolutbelopp
Lös ekvationen \( \; \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \)
Eftersom vi inte känner till \( \, x \, \) måste vi skilja mellan två fall, när vi tillämpar absolutbeloppets definition:
Fall 1 \( \quad x + 1 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x \geq -1 \)
Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( x + 1\, \).
Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgärd. Ekvationen blir:
- \[\begin{align} x + 1 & = 3 \\ x & = 3 - 1 \\ x_1 & = 2 \end{align}\]
Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen \( \, x \geq -1 \).
Men faktiskt är \( 2 \geq -1 \). Därmed kan vi godta denna lösning.
Annars hade den varit en s.k. falsk rot, dvs en beräknad "rot" som inte uppfyller ekvationen, se Falska rötter.
I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller kring falska rötter obligatoriska.
Fall 2 \( \quad x + 1 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x < -1 \)
Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( -(x + 1) = -x - 1\, \).
Dvs i det här fallet måste vi ersätta \( x + 1\, \) med \( -x - 1\, \), när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:
- \[\begin{align} -x - 1 & = 3 \\ -3 - 1 & = x \\ -4 & = x \\ x_2 & = -4 \end{align}\]
Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen \( \, x < -1\, \).
Men faktiskt är \( -4 < -1\, \). Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.
Svar:
Ekvationens och lösningarnas grafiska tolkning:
Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktioner som står i ekvationens resp. led:
| \( \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\ \\ y_2 & = 3 \end{align}\) | \( \qquad\qquad \) |  |
Likheten mellan leden: \( \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \, \) innebär att ekvationens lösningar är skärningspunkternas \( \, x\)-koordinater.
Graferna visar att det finns två lösningar: två skärningspunkter.
Skärningspunkternas \( \, x\)-koordinater \( \, x_1 = 2\, \) och \( \, x_2 = -4\, \) bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=cmAoY6RaKGU
http://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY
http://people.su.se/~matamm/undervisning/pdf/Introduktionskurs/Dag%203.pdf
http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/ABSOLUTBELOPP.pdf
Copyright © 2022 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
