1.7 Potenser

<<  Förra demoavsnitt

Genomgång

Grundpotensform

Övningar

Nästa demoavsnitt  >>

Hur räknar du?

$${\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6$$

$$\qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8$$

Vad är en potens?

Potens med positiv exponent: $\quad\;\;\; 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8$ Potens = upprepad multiplikation av $\, 2 \,$ med sig själv, $\, {\color{Red} 3} \,$ gånger.

$\, 2\,^3 \,$ läses $\, {\color{Red} 2}$ upphöjt till$\, {\color{Red} 3} \,$ och kallas för  potens. Ingredienserna är $\, 2\,$ som heter basen och $\, 3 \,$ som heter exponenten.

Exponenten $\, {\color{Red} 3} \,$ är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att:

$\, 2 \,$ ska multipliceras $\, {\color{Red} 3} \,$ gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. upprepad addition).

Exempel

Förenkla: $\qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4}$

Lösning: $\qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16}$

OBS!   Förenkla alltid först, räkna sedan!

Snabbare: $\qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16}$

För att förstå den snabbare lösningen se Potenslagarna.

Generellt:

Potenser med positiva exponenter

Potensen $\, a\,^{\color{Red} x} \,$ med positiv exponent ($x \,$ heltal $> 0 \,$ och $\, a \, \neq 0$) kan definieras som:

Upprepad multiplikation av $\, a \,$ med sig själv, $\, {\color{Red} x} \,$ gånger:

$\quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}}$

Potenslagarna

Första potenslagen: $\qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad$

---

Andra potenslagen: $\qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad$

---

Tredje potenslagen: $\qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad$

---

Lagen om nollte potens: $\qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad$

---

Lagen om negativ exponent: $\qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad$

---

Potens av en produkt: $\qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad$

---

Potens av en kvot: $\qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad$

Dessa lagar gäller för potenser där baserna $\, a,\,b \,$ är tal $\, \neq 0 \,$ och exponenterna $\, x,\,y \,$ är godtyckliga tal.

Exempel på första potenslagen

Förenkla: $\quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3$

Lösning:

$a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}$

Snabbare:

$a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5}$

Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.

Exempel på andra potenslagen

$\displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2$

Snabbare:

$\displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2$

Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten $\, 0 \,$:

Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller $\, 0 \,$. Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.

Potenser med negativa exponenter

Potens med negativ exponent: $\qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad$ Invertera potensen med positiv exponent. Att "invertera" t.ex. $\, 10 \,$ ger $\, \displaystyle {1 \over 10} \;$.

Andra exempel: $$\displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1}$$ $$\displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01}$$ $$\displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001}$$

Generellt:

Påstående:

Lagen om negativ exponent $\quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x}$

Bevis:

$\displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x}$

In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: $\; 1 = a^0 \;$.

In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: $\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \;$.

Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.

Potenser med exponenten $\, 0 \,$

Exempel:

$\quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad$

Generellt:

Påstående:

Lagen om nollte potens $\quad a^0 \; = \; 1 \;$

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

$\displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0$

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet $\, 1$:

$\displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1$

Av raderna ovan följer påståendet:

$a^0 \; = \; 1$

I båda föregående påståenden ska alltid gälla: $\quad x \,$ heltal $> 0 \,$ och $\, a \, \neq 0 \quad$.

Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:

Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.

Nollte potensen bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som $\, 0 \,$ är övergången mellan positiva och negativa tal:

Varför är $\; 5\,^0 \, = \, 1 \;$?

$$\;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$$

$$\;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$$

$$\;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5$$

$$\;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5$$

$$\; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}}$$

$$\;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5}$$

$$\;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5}$$

$$\;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5}$$

$$\;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 }$$

Att $\; {\color{Red} 1}$-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är $\, {\color{Red} 1}$, dvs $\, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a$.

Därför blir endast $\, {\color{Red} 1} \,$ kvar, när vi kommer till $\, {\color{Red} {5^0}} \,$ då alla $\, 5$-or har försvunnit.

Jämför exemplet ovan med följande:

Varför är $\; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \;$?

$$\;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5$$

$$\;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5$$

$$\;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5$$

$$\;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5$$

$$\; \boxed{{\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}}}$$

$$\;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5$$

$$\;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5$$

$$\;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5$$

$$\;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5$$

Att $\; {\color{Red} 0}$-orna följer med hela tiden beror på att additionens enhet är $\, {\color{Red} 0}$, dvs $\, a + {\color{Red} 0} \, = \, a$.

Därför blir endast $\, {\color{Red} 0} \,$ kvar, när vi kommer till $\, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \,$ då alla $\, 5$-or har försvunnit.

Som man ser är även multiplikation med negativa tal en naturlig fortsättning på multiplikation med positiva tal.

Multiplikation med ${\color{Red} 0}$, kallad nollprodukten, bildar övergången mellan dem, precis som $\, 0 \,$ är övergången mellan positiva och negativa tal.

Att $\, {\color{Red} 0} \,$ tar över rollen av $\, {\color{Red} 1} \,$ beror på att $\, 0 \,$ är additionens enhet, medan multiplikationens enhet är $\, 1 \,$.

Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=BMEOkzq3Xo4

http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

Copyright © 2010-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.