1.1 Polynom

<< Repetitioner

Genomgång

Övningar

Fördjupning

Nästa demoavsnitt >>

Exempel på polynom

\[ 4\,x + 12 \]

\[ 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]

\[ 8\,x^3 + 4\,x^2 - 7\,x + 6\]

\[ 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9\quad\]

Uttrycken ovan kallas för polynom, eftersom de består av många (poly på latin) termer (nom på latin). Varje polynom är en summa av ett antal termer.

En term består av ett tal gånger en \( \, x\)-potens, t.ex. \( 3\,x^4 \).

Man brukar inleda polynom med den term som har den högsta \( \,x\)-potensen. Sedan fortsätter man med termer i avtagande ordning på \( x\)-potenserna.

Exempel på icke-polynom

Följande uttryck är inga polynom, eftersom de inte kan skrivas som summor av termer där varje term har formen "tal gånger en \( \, x\)-potens" som i exemplen ovan:

\[ \displaystyle{1 \over x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{\sqrt x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{a^x} \; , \quad {\rm där} \quad a = {\rm const.} \]

I polynom måste \( x\)-potensernas exponenter vara positiva heltal eller \( \, 0 \), dvs de får inte vara negativa eller bråk. Därför är \( 1 \over x \) \( = x^{-1}\, \) och \( \sqrt x = x^{1\over2} \) inga polynom.

I polynom får inte heller variabeln \( x \) förekomma i exponenten. Därför är \( \, a^x \) inget polynom. Se även Allmän definition längre fram och repetitionsfliken om ... Potenser.

Att utveckla ett algebraiskt uttryck till ett polynom betyder att förenkla uttrycket genom att:

lösa upp alla parenteser,
sammanfoga alla termer som går att sammanfoga och
skriva resultatet som en summa av termer, helst ordnad efter \( x\)-potenser i avtagande ordning.

Utveckla följande uttryck till ett polynom:

\[ 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) \]

Vi löser upp parenteserna, sammanfogar de termer som går att sammanfoga och ordnar \( x\)-potenserna i fallande ordning:

\[ 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) = \,6\,x^3 -\,12\,x^3\,-\,32\,x^2 +\,10\,x\,+\,18\,x^2 = \underline{-6\,x^3 - 14\,x^2 +\,10\,x} \, \]

Grad

Den högsta förekommande exponenten till \( x\)-potenserna bland polynomets alla termer kallas polynomets grad.

Följande polynom har graden \( \, 4\,\):

\[ x^4 - 29\;x^2 + 100 \]

eftersom den största exponenten till \( \, x\)-potenserna är \( \, 4 \).

I de inledande exemplen Exempel på polynom har polynomen där graderna \( \, 1, \, 2, \, 3, \, \) och \( \, 4 \, \) i den ordning de är angivna där.

Koefficienter

Talen framför \( x\)-potenserna kallas för polynomets koefficienter.

1:a gradspolynomet \( \qquad 4\,x + 12 \qquad\qquad\quad \) har koefficienterna \( \quad 4 \,\) och \( \, 12 \).

2:a gradspolynomet \( \qquad 3\,x^2 + 5\,x - 16 \qquad \) har koefficienterna \( \quad 3 \, \) och \( \, 5 \, \) och \( \, -16\).

Konstanterna \( 12\, \) och \( -16\, \) i exemplen ovan är också koefficienter, fast de inte (synligt) står framför någon \( x\)-potens, därför att \( 12\, \) kan skrivas som:

\[ 12 \cdot x^0 \]

Detta pga \( x^0 = 1\, \). Samma sak gäller för koefficienten \( -16 \, = \, -16\,x^0 \), se repetitionsfliken om ... Potenser.

4:e gradspolynomet \( \qquad x^4 - 29\,x^2 + 100 \qquad \) har koefficienterna \( \quad 1, \quad 0, \quad -29, \quad 0, \quad 100\)

Anledningen till att två koefficienter är \( \, 0 \,\) är att \(x^3\)- och \(x^1\)-termerna saknas i polynomet. Det betyder att deras koefficienter är \( \, 0 \, \). Man skulle kunna skriva polynomet även så här:

\[ x^4 + 0\cdot x^3 - 29\;x^2 + 0\cdot x^1 + 100\cdot x^0 \]

Att man inte gör det beror på att termerna med koefficienten \( \, 0 \, \) bidrar inget till polynomets värde. Man föredrar skrivsättet \( \, x^4 - 29\,x^2 + 100 \, \) för det är enklare att skriva så.

För enkelhetens skull brukar man utelämna de termer som räknemässigt inte bidrar till polynomets värde. Men formellt är de där och bör tas hänsyn till när man räknar upp koefficienterna. På så sätt kan man alltid använda den fullständiga koefficientlistan som en definition på polynomet.

Ett polynoms värde

Eftersom ett polynom är en speciell form av ett uttryck är ett polynoms värde inget annat än uttryckets värde. Ett polynom har inget givet värde för sig utan får ett värde för något specificerat värde för \(x\,\).

Exempel: Beräkna följande polynoms värde för \( \, x = 0,5 \):

\[ 8\,x^3 - 4\,x \]

Lösning: Vi sätter in \( 0,5\,\) för \(x\,\) i polynomets alla termer och beräknar polynomets värde:

\[ 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 \,\]

Det givna polynomets värde för \( x = 0,5\, \) är \( -1\,\). För andra värden på \(x\,\) kommer polynomet att ha andra värden.

Att räkna med polynom

Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck. Man kan addera, subtrahera och multiplicera polynom med varandra. Resultatet blir ett nytt polynom. Följande gäller:

Summan, differensen och produkten av polynom är alltid ett polynom.

Exempel på räkning med polynom

Två polynom är givna:

\[ 6\,x^2 + 2\,x - 3 \]

\[ -6\,x^2 - 3\,x + 4 \]

Bilda deras summa, differens och produkt.

Summa = resultat av addition:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 \, = \, \underline{-\,x\,+\,1} \)

Differens = resultat av subtraktion:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 \, = \, \underline{12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7}\)

Produkt = resultat av multiplikation:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 \, = \, \)

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\, = \, \underline{-36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12} \)

Det man gör hela tiden i exemplet ovan är att först lösa upp parenteserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, det är de termer som har samma exponent.

Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I exemplet är faktorerna 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktpolynomets grad blir \( \, m + n \, \) om faktorernas grader är \( \, m \, \) och \( \, n \, \), vilket är en konsekvens av första potenslagen.

Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom.

Kvoten av två polynom är i regel inget polynom.

Det enklaste exemplet nämndes i Exempel på icke-polynom dvs kvoten mellan polynomet \( 1 \, \) (av graden 0) och polynomet \( x \, \) (av graden 1):

\[ {1 \over x} \qquad {\rm eller} \qquad x^{-1} \]

Uttrycken är enligt potenslagarna identiska. Man ser att exponenten är negativ. Men i ett polynom får exponenterna till \( x\)-potenserna inte vara negativa. Därför är uttrycket ovan inget polynom \(-\) ett exempel på att kvoten av två polynom i regel inte är polynom.

Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som \( 1 \over x \) är ett exempel på. Denna nya klass av uttryck kallas rationella uttryck och behandlas i avsnitt 1.3.

Allmän definition

Inledningsvis kallades en konstant gånger en \( x\)-potens för en term:

\[ 8 \cdot x^3 \qquad\qquad {\rm Generellt:} \qquad\qquad a \cdot x^n \]

Som en summa av många sådana termer har ett polynom följande allmän definition:

Ett polynom av grad \(n\,\) har formen:

\[ a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \; , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} {n\,= {\rm positivt\;heltal}}\;{\rm eller}\;{\color{Red} 0}\,.} \]

Koefficienterna \( \, a_n \) är godtyckliga kända konstanter, medan \(x\,\) är en variabel.

Istället för att använda beteckningarna \( \, a, \, b, \, c, \, \dots \) för koefficienterna inför man s.k. indicerade beteckningar \( \, a_1, \, a_2, \, a_3, \, \dots \). Det nedsänkta \(\,{\color {Red} {_n}}\)-et i \(a_n\,\) är en del av beteckningen och kallas index (subscript, nedsänkt skrivet). Dessa indicerade beteckningar används för att associera koefficienten till \(\,x\)-potensens exponent.

\( a_n\, \) kallas för polynomets ledande koefficient.

\( a_0\, \) kallas polynomets konstanta term.

Generellt kan ett polynom definieras via sina samtliga koefficienter.

Exempel

Polynomet \( \quad x^5 + 3\,x^4 - 8\,x^3 - 54\,x + 9 \quad \) av grad \( \, 5 \, \) har koefficienterna:

\[a_5 = 1 \; , \qquad a_4 = 3 \; , \qquad a_3 = -8 \; , \qquad a_2 = 0 \; , \qquad a_1 = -54 \; , \qquad a_0 = 9\]

Konvention: Ur ren beräkningssynpunkt är det irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer. Men, för att höja läsligheten och hålla sig till en bra struktur, brukar man börja med den term som har den högsta \( x\)-potensen, skriva termerna i avtagande ordning på \( x\)-potensernas exponenter och avsluta med den konstanta termen.

Ett polynoms nollställen (rötter)

När polynomets värde blir \( 0\,\) kallar man de \( x\,\) för vilka polynomets värde blir \( 0\,\), polynomets nollställen. Nollställe är i polynomsammanhang synonym till rot. Se även rotens olika betydelser.

Till skillnad från polynomets värde där vi satt in ett tal för \( x\,\) och fick ett värde för polynomet, måste vi nu vända på steken och sätta polynomet till värdet \( 0\,\) och beräkna \( x\,\). Det är en mycket svårare uppgift eftersom vi måste lösa en ekvation som i regel är av högre grad. Vi är ju ute efter de \( x\,\) för vilka ett polynom av en viss grad blir \( 0\,\). Dessa \( x\,\) är polynomets nollställen. Därför kan ett polynom ha flera nollställen medan ett polynoms värde är alltid unikt.

Exempel på nollställen

Bestäm alla nollställen till polynomet \( 5\,x^2 -\,20\,x \).

Att beräkna polynomets nollställen innebär att sätta polynomet till 0 och lösa följande ekvation:

\[ 5\,x^2 -\,20\,x = 0 \]

Eftersom vänsterledet saknar konstant term kan man bryta ut x som är den gemensamma faktorn i båda termer för att sedan kunna använda nollproduktmetoden:

\[\begin{align} 5\,x^2 -\,20\,x & = 0 \\ x\,(5\,x -\,20) & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ 5\,x_2 -\,20 & = 0 \\ x_2 & = 4 \\ \end{align}\]

Polynomets nollställen eller rötter är alltså \( x_1 = 0\, \) och \( x_2 = 4\, \).