1.1 Lösning 2b

\(\begin{align} x + \sqrt{5\,x - 1} & = 3 & & | \;\; - x \\ \sqrt{5\,x - 1} & = 3 - x & & | \; (\;\;\;)^2 \\ 5\,x - 1 & = (3 - x)^2 \\ 5\,x - 1 & = 9 - 6\,x + x^2 & & | -5\,x + 1 \\ x^2 - 11\,x + 10 & = 0 \\ x_{1,2} & = 5,5 \pm \sqrt{30,25 - 10} \\ x_{1,2} & = 5,5 \pm 4,5 \\ x_1 & = 10 \\ x_2 & = 1 \\ \end{align}\)

Prövning:

Först prövar vi \( x_1 = 10 \):

VL\[ 10 + \sqrt{5\cdot 10 - 1} = 10 + \sqrt{50 - 1} = 10 + \sqrt{49} = 10 + 7 = 17 \]

HL\[ 3\, \]

VL \( \not= \) HL \( \Rightarrow\; x_1 = 10 \) är en falsk rot.

Sedan prövar vi roten \( x_2 = 1 \):

VL\[ 1 + \sqrt{5\cdot 1 - 1} = 1 + \sqrt{5 - 1} = 1 + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3 \]

HL\[ 3\, \]

VL = HL \( \Rightarrow\; x_2 = 1 \) är en sann rot.

Svar: Ekvationen

\[ x + \sqrt{5\,x - 1} = 3 \]

har den enda lösningen

\[ x = 1\, \]