1.1 Lösning 10

I ekvationen

$${1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}}$$

inför vi den nya variabeln $t = {1 \over \sqrt{x}}$ (substitution) vilket ger upphov till $t^2 = {1 \over x}$ när det hela kvadreras.

Ersätter vi i ekvationen ovan $1 \over \sqrt{x}$ med $t\,$ och $1 \over x$ med $t^2\,$ får vi:

$$\begin{align} t^2 & = 306 - t & | \, - 306 + t \\ t^2 + t - 306 & = 0 \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + 306} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + {1224 \over 4}} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm \sqrt{1225 \over 4} \\ t_{1,2} & = -{1 \over 2} \pm {35 \over 2} \\ t_1 & = {34 \over 2} = 17 \\ t_2 & = -{36 \over 2} = -18 \\ \end{align}$$

Sätter vi tillbaka $t_1 = 17\,$ i substitutionen som vi gjorde i början får vi

$$\begin{align} 17 & = {1 \over \sqrt{x_1}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ 289 & = {1 \over x_1} && \qquad | \; \cdot x_1 \;/\;289 \\ x_1& = {1 \over 289} \end{align}$$

Sätter vi tillbaka $t_2 = -18\,$ i substitutionen får vi:

$$\begin{align} -18 & = {1 \over \sqrt{x_2}} && \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\ 324 & = {1 \over x_2} && \qquad | \; \cdot x_2 \;/\;324 \\ x_2 & = {1 \over 324} \\ \end{align}$$

Prövning för $x_1 = {1 \over 289}$:

VL ${\color{White} x} {1 \over {1 \over 289}} = 289$

HL ${\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 289}} = 306 - {1 \over {1 \over 17}} = 306 - 17 = 289$

VL = HL $\Rightarrow\, x_1 = {1 \over 289}$ är en sann rot.

Prövning för $x_2 = {1 \over 324}$:

VL ${\color{White} x} {1 \over {1 \over 324}} = 324$

HL ${\color{White} x} 306 - {1 \over \sqrt{1 \over 324}} = 306 - {1 \over {1 \over 18}} = 306 - 18 = 288$

VL $\not=$ HL $\Rightarrow\, x_2 = {1 \over 324}$ är en falsk rot.