1.1 Lösning 11
Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken\[\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad \\ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2} & & \qquad | \cdot 2 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) & = 3 & & \qquad | - 3 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3 & = 0 \\ \end{align}\]
Nu ser man att uttrycket \( x^2 + 4\,x + 1 \) förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation. Följande substitution åstadkommer detta:
- \[ t = x^2 + 4\,x + 1 \]
Ersätter man i 4:e gradsekvationen \( (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3 = 0 \) enligt substitutionen ovan \( x^2 + 4\,x + 1 \) med \( \displaystyle t \) får man 2:e gradsekvationen \( t^2 + 2\,t - 3 = 0 \) som kan lösas med pq-formeln:
- \[\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0 \\ t_{1,2} & = - 1 \pm \sqrt{1 + 3} \\ t_{1,2} & = - 1 \pm 2 \\ t_1 & = 1 \\ t_2 & = - 3 \\ \end{align}\]
Sätter vi först \( t_1 = 1 \) tillbaka i substitutionen ovan får vi:
- \[\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = 1 & & \qquad\qquad\quad | - 1 \\ x^2 + 4\,x & = 0 \\ \end{align}\]
Eftersom detta är en 2:e gradsekvation som saknar konstant term kan vi genom att bryta ut x på vänsterledet och använda nollproduktmetoden lösa den enkelt:
- \[\begin{align} x\;(x + 4) & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ x_2 & = - 4 \\ \end{align}\]
Sätter vi sedan \( t_2 = - 3 \) tillbaka i substitutionen ovan får vi:
- \[\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = -3 & & | + 3 \\ x^2 + 4\,x + 4 & = 0 \\ x_{3,4} & = - 2 \pm \sqrt{4 - 4} \\ x_3 & = - 2 \\ \end{align}\]
Sammanfattningsvis kan vi ange att ekvationen
\( {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) \)
har lösningarna\[ \displaystyle x_1 = 0 \]
\( \displaystyle x_2 = -4 \)
\( \displaystyle x_3 = -2 \)
