1.1 Lösning 2c

\(\begin{align} 6\,x - 3\,\sqrt{9+x} & = -9 & & | \;\; +9+3\,\sqrt{9+x} \\ 6\,x + 9 & = 3\,\sqrt{9+x} & & | \; (\;\;\;)^2 \\ (6\,x + 9)^2 & = 9\cdot (9 + x) \\ 36\,x^2 + 108\,x + 81 & = 81 + 9\,x & & | -9\,x - 81 \\ 36\,x^2 + 99\,x & = 0 \\ 9\,x\cdot (4\,x + 11) & = 0 & & | \;\; {\rm Nollprodukt}\\ 9\,x_1 & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ 4\,x_2 + 11 & = 0 \\ 4\,x_2 & = - 11 \\ x_2 & = - 2,75 \\ \end{align}\)

Prövning:

Först prövar vi roten \( x_1 = 0 \):

VL\[ 6\cdot 0 - 3\,\sqrt{9+0} = 0 - 3\cdot \sqrt{9} = - 3\cdot 3 = - 9 \]

HL\[ -9\, \]

VL = HL \( \Rightarrow\; x_1 = 0 \) är en sann rot.

Sedan prövar vi roten \( x_2 = - 2,75 \):

VL\[ 6\cdot (-2,75) - 3\,\sqrt{9-2,75} = -16,5 - 3\,\sqrt{6,25} = -16,5 - 3\,\cdot\, 2,5 = \]

\[ = -16,5 - 7,5\, = -24 \]

HL\[ -9\, \]

VL \( \not= \) HL \( \Rightarrow\; x_2 = -2,75 \) är en falsk rot.

Svar:

Ekvationen \( 6\,x - 3\,\sqrt{9+x} = -9 \) har den enda lösningen:

\[ x = 0\, \]