Versionen från 22 augusti 2012 kl. 18.08

b) Rita graferna till funktionerna \( y_1 = \sqrt{x^2 + 1} \) och \( y_2 = x - 3\, \) i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -10, Xmax = 10, Xscl = 2, Ymin = -10, Ymax = 10, Yscl = 2. Motivera ditt svar i a) med hjälp av graferna.

c) Rita graferna till funktionerna \( \displaystyle y_1 = x^2 + 1 \) och \( y_2 = (x - 3)^2\, \) i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -3, Xmax = 6, Xscl = 1, Ymin = 0, Ymax = 10, Yscl = 1. Tolka resultatet.

Svar 4a

1.1 Svar 4a

Lösning 4a

1.1 Lösning 4a

Lösning 4b

1.1 Lösning 4b

Lösning 4c

1.1 Lösning 4c

Alternativt:

Svar 4a | Lösning 4a | Lösning 4b | Lösning 4c

Övning 5

a) Modifiera rotekvationen

\( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)

i övning 4 så att den får en lösning genom att titta på grafen som du (förhoppningsvis) ritade i övning 4b. Rita graferna till funktionerna på bägge leden av den modifierade rotekvationen i ett och samma koordinatsystem så att man ser lösningen grafiskt. Använd samma inställningar för WINDOW i din grafritande räknare som i övning 4b.

b) Lös den modifierade rotekvationen algebraiskt. Ange svaret med 2 decimalers noggrannhet.

Svar 5a

Lösning 5a

Svar 5b

Lösning 5b

Alternativt:

Svar 5a | Lösning 5a | Svar 5b | Lösning 5b

Övning 6

Lös ekvationen

\( x^4 - 29\;x^2 = -100 \)

Svar 6

1.1 Svar 6

Lösning 6

1.1 Lösning 6

Alternativt:

Svar 6 | Lösning 6

Övning 7

Lös följande ekvation, som är samma som i övning 2a, här med substitutionen \( t = \sqrt{x} \).

\( 2\,\sqrt{x} - x = 1 \)

Svar 7

1.1 Svar 7

Lösning 7

1.1 Lösning 7

Alternativt:

Svar 7 | Lösning 7

Övning 8

Lös följande ekvation och ange svaret med två decimaler\[ x\,\sqrt{x}\, + 4 = 8 \]

Svar 8

1.1 Svar 8

Lösning 8

1.1 Lösning 8

Alternativt:

Svar 8 | Lösning 8

MVG-övningar: 9-13

Övning 9

Lös följande rotekvation exakt\[ 2 = - { x \over \sqrt{1-x^2} } \]

Svar 9

1.1 Svar 9

Lösning 9

1.1 Lösning 9

Alternativt:

Svar 9 | Lösning 9

Övning 10

Lös följande ekvation exakt genom att använda en lämplig substitution\[ {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} \]

Svar 10

1.1 Svar 10

Lösning 10

1.1 Lösning 10

Alternativt:

Svar 10 | Lösning 10

Övning 11

Lös följande 4:e gradsekvation med en lämplig substitution\[ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2}\,-\,(x^2 + 4\,x + 1) \]

Svar 11

1.1 Svar 11

Lösning 11

1.1 Lösning 11

Alternativt:

Svar 11 | Lösning 11

Övning 12

Lös ekvationen

\( \sqrt{ x + 2 + \sqrt{2\;x + 7}} = 4 \)

Svar 12

1.1 Svar 12

Lösning 12

1.1 Lösning 12

Alternativt:

Svar 12 | Lösning 12

Övning 13

Undersök om följande ekvation har en lösning. Om ja ange den. Om nej motivera\[ 6\;x = 1 - \sqrt{ 36\;x^2 - {1 \over x} } \]

Svar 13

1.1 Svar 13

Lösning 13

1.1 Lösning 13

Alternativt:

Svar 13 | Lösning 13

Facit

1a)

\( - 5\,x - 11 \)

Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11.

1b)

\( 11\,x + 1 \)

Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1.

1c)

\( -24\,x^2\,+\,22\,x\,+\,30 \)

Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30.

1d)

\( {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} \)

Inget polynom.

2a)

\( - 12\,x + 2\)

Polynom av grad 1. Koefficienter är -12 och 2.

2b)

\( 8\,x^2 - 2\,x + 2 \)

Polynom av grad 2. Koefficienter: 8, -2 och 2.

2c)

\( -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x \)

Polynom av grad 4. Koefficienter: -16, 8, 27 och -10.

2d)

\( {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} \)

Inget polynom.

3a)

\( P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x \)

3b)

\( \displaystyle -19 \)

3c)

\( \displaystyle x_1 = 0 \)

\( \displaystyle x_2 = -10,5 \)

4a)

\( 2\,x^2 - 2\,x + 5 \)

4b)

\( \displaystyle 17 \)

5a)

Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen

\( y = f\,(x) = 90\,x - 4,9\,x^2 \)

och får

\( f(2,586) = 90 \cdot 2,586 - 4,9 \cdot 2,586\,^2 = 199,97 \)

vilket avrundat till hela meter ger 200 m.

Samma sak görs med den andra tiden 15,781 sekunder\[ f(15,781) = 90 \cdot 15,781 - 4,9 \cdot 15,781\,^2 = 199,99 \]

Även detta ger avrundat 200 m.

5b)

\( \displaystyle 413 \; \rm m \)

6a)

Xmin = 0

Xmax = 20

Xscl = 2

Ymin = 0

Ymax = 420

Yscl = 50

6b)

6c)

18,367 sekunder efter starten.

7)

\( U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x \)

8)

\( 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 \)

9)

Påstående\[ \displaystyle 2(x^2 - 1)^2 + (x + 2)(x^3 - 2) - 2x + x^2 - 1 = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 3 \]

Bevis:

VL = \( 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 = \)

= \( 2\,(x^4 - 2\,x^2 + 1) + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = \)

= \( 2\,x^4 - 4\,x^2 + 2 + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = \)

= \( 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 \)

HL = \( 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 \)

VL = HL \( \Rightarrow \) påståendet är bevisat.

10)

\( a = 2\, \)

\( b = 3\, \)

11a)

\( Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b \)

\( a = 2\, \)

\( b = 8\, \)

11b)

2 och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen:

\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]

Prövning för 2:

VL\[ 2^2 - 10\cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 \]

HL\[ 0 \]

VL \( = \) HL \( \Rightarrow\, \) 2 är en lösning.

Prövning för 8:

VL\[ 8^2 - 10\cdot 8 + 16 = 64 - 80 + 16 = 0 \]

HL\[ 0 \]

VL \( = \) HL \( \Rightarrow\, \) 8 är en lösning.

12a)

\( x_1\, = {1 \over 8} \)

\( x_2\, = -1 \)

12b)

\( k\, = 8 \)

\( a\, = 8 \)

\( b\, = -1 \)

\( c\, = 1 \)

\( d\, = 1 \)

@@ Rad 164: / Rad 164: @@
 :<small><small>[[1.1 Svar 13|Svar 13]] | [[1.1 Lösning 13|Lösning 13]]</small></small>
+= Facit =
+== 1a) ==
+<math> - 5\,x - 11 </math>
+Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11.
+== 1b) ==
+<math> 11\,x + 1 </math>
+Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1.
+== 1c) ==
+<math> -24\,x^2\,+\,22\,x\,+\,30 </math>
+Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30.
+== 1d) ==
+<math> {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} </math>
+Inget polynom.
+== 2a) ==
+<math> - 12\,x + 2</math>
+Polynom av grad 1. Koefficienter är -12 och 2.
+== 2b) ==
+<math> 8\,x^2 - 2\,x + 2 </math>
+Polynom av grad 2. Koefficienter: 8, -2 och 2.
+== 2c) ==
+<math> -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x </math>
+Polynom av grad 4. Koefficienter: -16, 8, 27 och -10.
+== 2d) ==
+<math> {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} </math>
+Inget polynom.
+== 3a) ==
+<math> P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x </math>
+== 3b) ==
+<math> \displaystyle -19 </math>
+== 3c) ==
+<math> \displaystyle x_1 = 0 </math>
+<math> \displaystyle x_2 = -10,5 </math>
+== 4a) ==
+<math> 2\,x^2 - 2\,x + 5 </math>
+== 4b) ==
+<math> \displaystyle 17 </math>
+== 5a) ==
+Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen
+<math> y = f\,(x) = 90\,x - 4,9\,x^2 </math>
+och får
+<math> f(2,586) = 90 \cdot 2,586 - 4,9 \cdot 2,586\,^2 = 199,97 </math>
+vilket avrundat till hela meter ger 200 m.
+Samma sak görs med den andra tiden 15,781 sekunder:
+<math> f(15,781) = 90 \cdot 15,781 - 4,9 \cdot 15,781\,^2 = 199,99 </math>
+Även detta ger avrundat 200 m.
+== 5b) ==
+<math> \displaystyle 413 \; \rm m </math>
+== 6a) ==
+Xmin = 0
+Xmax = 20
+Xscl = 2
+Ymin = 0
+Ymax = 420
+Yscl = 50
+== 6b) ==
+[[Image: Uppg_6b_Raket_70.jpg]]
+== 6c) ==
+,367 sekunder efter starten.
+== 7) ==
+<math> U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x </math>
+== 8) ==
+<math> 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 </math>
+== 9) ==
+Påstående:
+<math> \displaystyle 2(x^2 - 1)^2 + (x + 2)(x^3 - 2) - 2x + x^2 - 1 = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 3 </math>
+Bevis:
+<big>VL</big> = <math> 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
+= <math> 2\,(x^4 - 2\,x^2 + 1) + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
+= <math> 2\,x^4 - 4\,x^2 + 2 + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
+= <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>
+<big>HL</big> = <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>
+<big>VL = HL</big> <math> \Rightarrow </math> påståendet är bevisat.
+== 10) ==
+<math> a = 2\, </math>
+<math> b = 3\, </math>
+== 11a) ==
+<math> Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b </math>
+<math> a = 2\, </math>
+<math> b = 8\, </math>
+== 11b) ==
+och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen:
+:<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math>
+Prövning för 2:
+VL: <math> 2^2 - 10\cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 </math>
+HL: <math> 0 </math>
+VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 2 är en lösning.
+Prövning för 8:
+VL: <math> 8^2 - 10\cdot 8 + 16 = 64 - 80 + 16 = 0 </math>
+HL: <math> 0 </math>
+VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 8 är en lösning.
+== 12a) ==
+<math> x_1\, = {1 \over 8} </math>
+<math> x_2\, = -1 </math>
+== 12b) ==
+<math> k\, = 8 </math>
+<math> a\, = 8 </math>
+<math> b\, = -1 </math>
+<math> c\, = 1 </math>
+<math> d\, = 1 </math>
 [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Skillnad mellan versioner av "Övningar till Rotekvationer och högre gradsekvationer"

Versionen från 22 augusti 2012 kl. 18.08

G-övningar: 1-3

Övning 1

Övning 2

Övning 3

VG-övningar: 4-8

Övning 4

Övning 5

Övning 6

Övning 7

Övning 8

MVG-övningar: 9-13

Övning 9

Övning 10

Övning 11

Övning 12

Övning 13

Facit

1a)

1b)

1c)

1d)

2a)

2b)

2c)

2d)

3a)

3b)

3c)

4a)

4b)

5a)

5b)

6a)

6b)

6c)

7)

8)

9)

10)

11a)

11b)

12a)

12b)

Navigeringsmeny

Sök