Skillnad mellan versioner av "Övningar till Rotekvationer och högre gradsekvationer"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Övning 4)
m
 
(244 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.1 Ekvationer|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| <<&nbsp;&nbsp;Repetitioner]]}}
−
{{Selected tab|[[1.1 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[Rotekvationer och högre gradsekvationer|Genomgång]]}}
 +
{{Selected tab|[[Övningar till Rotekvationer och högre gradsekvationer|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare|Lektion 2 Grafritning & ...&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
−
== G-övningar: 1-6 ==
 
  
−
== Övning 1 ==
+
<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-3</span></Big></Big></Big>
−
<div class="ovning">
+
 
 +
 
 +
== <b>Övning 1</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 
Lös följande rotekvationer:
 
Lös följande rotekvationer:
  
−
a) <math> \sqrt{x} = 9 </math>
+
a) &nbsp; <math> \sqrt{x} = 9 </math>
  
−
b) <math> \sqrt{x} = - 9 </math>
+
b) &nbsp; <math> \sqrt{x} = - 9 </math>
  
−
c) <math> 5 - \sqrt{x} = 1 </math>
+
c) &nbsp; <math> 5 - \sqrt{x} = 1 </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.1 Svar 1a|Lösning 1a|1.1 Lösning 1a|Svar 1b|1.1 Svar 1b|Lösning 1b|1.1 Lösning 1b|Svar 1c|1.1 Svar 1c|Lösning 1c|1.1 Lösning 1c}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.1 Svar 1a|Lösning 1a|1.1 Lösning 1a|Svar 1b|1.1 Svar 1b|Lösning 1b|1.1 Lösning 1b|Svar 1c|1.1 Svar 1c|Lösning 1c|1.1 Lösning 1c}}</div>
  
−
== Övning 2 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Lös följande ekvation med den metod som förklaras i Teori-delen (kvadrering).
 
  
−
<math> 2\,\sqrt{x} - x = 1 </math>
+
== <b>Övning 2</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Lös följande ekvationer med den metod som förklaras i genomgången.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2|1.1 Svar 3|Lösning 2|1.1 Lösning 3}}
+
a) &nbsp; <math> 2 \,\cdot \, \sqrt{x} - x = 1 </math>
  
−
== Övning 3 ==
+
b) &nbsp; <math> x + \sqrt{5\,x - 1} = 3 </math>
−
<div class="ovning">
+
−
Lös följande rotekvation:
+
  
−
<math> x = \sqrt{x+7} - 1 </math>
+
c) &nbsp; <math> 6\,x - 3\,\sqrt{9+x} = -9 </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3|1.1 Svar 4|Lösning 3|1.1 Lösning 4}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.1 Svar 2a|Lösning 2a|1.1 Lösning 2a|Svar 2b|1.1 Svar 2b|Lösning 2b|1.1 Lösning 2b|Svar 2c|1.1 Svar 2c|Lösning 2c|1.1 Lösning 2c}}</div>
  
−
== Övning 4 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Lös ekvationen
 
  
−
a) <math> \sqrt{x^2 -1} = x - 3 </math>
+
== <b>Övning 3</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Lös följande rotekvationer:
  
−
b) Rita graferna till funktionerna <math> y_1 = \sqrt{x^2 -1} </math> och <math> \displaystyle y_2 = x - 3 </math> i ett och samma koordinatsystem. Använd bilden för att motivera ditt svar i a).
+
a) &nbsp; <math> x = \sqrt{x+7} - 1 </math>
  
−
c) Rita graferna till funktionerna <math> \displaystyle y_1 = x^2 -1 </math> och <math> \displaystyle y_2 = (x - 3)^2 </math> i ett och samma koordinatsystem. Tolka resultatet.
+
b) &nbsp; <big><math> {x + \sqrt{x} \over 7} </math></big> <math> = 6 </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.1 Svar 2a|Lösning 4a|1.1 Lösning 2a|Lösning 4b|1.1 Lösning 4b|Lösning 4c|1.1 Lösning 4c}}
+
c) &nbsp; <math> 2\,(x + 8) = 9\,\sqrt{4\,x} </math>
  
−
== Övning 5 ==
+
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.1 Svar 3a|Lösning 3a|1.1 Lösning 3a|Svar 3b|1.1 Svar 3b|Lösning 3b|1.1 Lösning 3b|Svar 3c|1.1 Svar 3c|Lösning 3c|1.1 Lösning 3c}}</div>
−
<div class="ovning">
+
 
−
Lös ekvationen
+
 
 +
 
 +
 
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 4-8</span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 4</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Lös rotekvationen
 +
 
 +
a) &nbsp; <math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math>
 +
 
 +
b) &nbsp; Rita graferna till funktionerna <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> och <math> y_2 = x - 3\, </math> i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -10, Xmax = 10, Xscl = 2, Ymin = -10, Ymax = 10, Yscl = 2. Motivera ditt svar i a) med hjälp av graferna.
 +
 
 +
c) &nbsp; Rita graferna till funktionerna <math> \displaystyle y_1 = x^2 + 1 </math> och <math> y_2 = (x - 3)^2\, </math> i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -3, Xmax = 6, Xscl = 1, Ymin = 0, Ymax = 10, Yscl = 1. Tolka resultatet.
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.1 Svar 4a|Lösning 4a|1.1 Lösning 4a|Lösning 4b|1.1 Lösning 4b|Lösning 4c|1.1 Lösning 4c}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 5</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
a) &nbsp; Modifiera rotekvationen
 +
 
 +
<math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math>
 +
 
 +
i övning 4 så att den får en lösning genom att titta på grafen som du (förhoppningsvis) ritade i [[1.1 Lösning 4b|övning 4b]]. Rita graferna till funktionerna på bägge leden av den modifierade rotekvationen i ett och samma koordinatsystem så att man ser lösningen grafiskt. Använd samma inställningar för WINDOW i din grafritande räknare som i [[1.1 Lösning 4b|övning 4b]].
 +
 
 +
b) &nbsp; Lös den modifierade rotekvationen algebraiskt. Ange svaret med 2 decimalers noggrannhet.
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.1 Svar 5a|Lösning 5a|1.1 Lösning 5a|Svar 5b|1.1 Svar 5b|Lösning 5b|1.1 Lösning 5b}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 6</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Lös ekvationen:
 +
 
 +
::<math> x^4 - 29\;x^2 = -100 </math>
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 6|1.1 Svar 6|Lösning 6|1.1 Lösning 6}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 7</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Lös följande ekvation, som är samma som i övning 2a, här med substitutionen <math> t = \sqrt{x} </math>:
 +
 
 +
::<math> 2\,\sqrt{x} - x = 1 </math>
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.1 Svar 7|Lösning 7|1.1 Lösning 7}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 8</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Lös följande ekvation och ange svaret med två decimaler:
 +
 
 +
::<math> x\,\sqrt{x}\, + 4 = 8 </math>
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8|1.1 Svar 8|Lösning 8|1.1 Lösning 8}}</div>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 9-13</span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 9</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Lös följande rotekvation exakt:
 +
 
 +
::<math> 2 = - { x \over \sqrt{1-x^2} } </math>
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 9|1.1 Svar 9|Lösning 9|1.1 Lösning 9}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 10</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Lös följande ekvation exakt genom att använda en lämplig substitution:
 +
 
 +
::<math> {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} </math>
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 10|1.1 Svar 10|Lösning 10|1.1 Lösning 10}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 11</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Lös följande 4:e gradsekvation med en lämplig substitution:
 +
 
 +
::<math> {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2}\,-\,(x^2 + 4\,x + 1) </math>
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 11|1.1 Svar 11|Lösning 11|1.1 Lösning 11}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 12</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Lös ekvationen:
 +
 
 +
::<math> \sqrt{ x + 2 + \sqrt{2\;x + 7}} = 4 </math>
 +
</div>
 +
<!-- {{#NAVCONTENT:Svar 12|1.1 Svar 12|Lösning 12|1.1 Lösning 12}}
 +
-->
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 13</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Undersök om följande ekvation har en lösning. Om ja ange den. Om nej motivera:
 +
 
 +
::<math> 6\;x = 1 - \sqrt{ 36\;x^2 - {1 \over x} } </math>
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 13|1.1 Svar 13|Lösning 13|1.1 Lösning 13}}</div>
 +
<!-- Alternativt:
 +
:<small><small>[[1.1 Svar 13|Svar 13]] | [[1.1 Lösning 13|Lösning 13]]</small></small>
 +
 
 +
 
 +
= Facit =
 +
 
 +
== 1a) ==
 +
<math> \displaystyle 81 </math>
 +
 
 +
== 1b) ==
 +
Ekvationen saknar lösning.
 +
 
 +
== 1c) ==
 +
<math> x = 16\, </math>
 +
 
 +
== 2a) ==
 +
<math> x = 1\, </math>
 +
 
 +
== 2b) ==
 +
<math> x = 1\, </math>
 +
 
 +
== 2c) ==
 +
<math> x = 0\, </math>
 +
 
 +
== 3a) ==
 +
<math> x = 2\, </math>
 +
 
 +
== 3b) ==
 +
<math> x = 36\, </math>
 +
 
 +
== 3c) ==
 +
<math> x_1 = 64\, </math>
 +
 
 +
<math> x_2 = 1\, </math>
 +
 
 +
== 4a) ==
 +
Ekvationen saknar lösning.
 +
 
 +
== 4b) ==
 +
Graferna till <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> och <math> \displaystyle y_2 = x - 3 </math> ritade i samma koordinatsystem:
 +
 
 +
[[Image: Rotekv_Övn_4bR.jpg]]
 +
 
 +
Bilden visar att kurvan <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> (blå) och linjen <math> \displaystyle y_2 = x - 3 </math> (grön) inte skär varandra. Dvs de har ingen gemensam punkt där deras funktionsvärden överensstämmer.
 +
 
 +
Detta bekräftar att ekvationen
 +
 
 +
<math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math>
 +
 
 +
saknar lösning vilket visades i lösningen till [[1.1 Lösning 4a|övning 4a]].
 +
 
 +
== 4c) ==
 +
Graferna till <math> \displaystyle y_1 = x^2 + 1 </math> och <math> \displaystyle y_2 = (x - 3)^2 </math> ritade i samma koordinatsystem:
 +
 
 +
[[Image: Rotekv_kvadrerad_Övn_4c.jpg]]
 +
 
 +
Bilden visar att kurvorna <math> \displaystyle y_1 = x^2 + 1 </math> (blå) och <math> \displaystyle y_2 = (x - 3)^2 </math> (grön) skär varandra i en punkt. Detta innebär att ekvationen
 +
 
 +
<math> \displaystyle x^2 + 1 = (x - 3)^2 </math>
 +
 
 +
har en lösning som kan avläsas från grafen till ca. <math> \displaystyle x \approx 1,3 </math>. Men denna ekvation uppstår när man kvadrerar den ursprungliga rotekvationen
 +
 
 +
<math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math>
 +
 
 +
Dvs den kvadrerade ekvationen har en lösning som är den ursprungliga rotekvationens falska rot som är exakt <math> \displaystyle x = {4 \over 3} </math> vilket visades i lösningen till [[1.1 Lösning 4a|övning 4a]].
 +
 
 +
== 5a) ==
 +
Den modifierade ekvationen är:
 +
 
 +
<math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math>
 +
 
 +
== 5b) ==
 +
<math> x = 1,64\, </math>
 +
 
 +
== 6) ==
 +
Ekvationen
  
 
<math> x^4 - 29\;x^2 = -100 </math>
 
<math> x^4 - 29\;x^2 = -100 </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 5|1.1 Svar 5|Lösning 5|1.1 Lösning 5}}
+
har lösningarna:
 +
 
 +
<math> x_1 = 5\, </math>
 +
 
 +
<math> x_2 = -5\, </math>
 +
 
 +
<math> x_3 = 2\, </math>
 +
 
 +
<math> x_4 = -2\, </math>
  
−
== Övning 6 ==
+
== 7) ==
 +
<math> x = 1\, </math>
  
−
== VG-övningar: 7-9 ==
+
== 8) ==
 +
<math> x = 2,52\, </math>
  
−
== Övning 7 ==
+
== 9) ==
−
<div class="ovning">
+
<math> x = - \; { 2 \over \sqrt{5} } </math>
−
Lös följande ekvation (samma som i övning 2) med substitutionen <math> t = \sqrt{x} </math>.
+
  
−
<math> 2\,\sqrt{x} - x = 1 </math>
+
== 10) ==
 +
<math> x = {1 \over 289} </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.1 Svar 7|Lösning 7|1.1 Lösning 7}}
+
== 11) ==
 +
<math> x_1\, = 0 </math>
  
−
== Övning 8 ==
+
<math> x_2\, = -4 </math>
−
<div class="ovning">
+
−
Lös följande rotekvation:
+
  
−
<math> 6\;x = 1 - \sqrt{ 36\;x^2 - {1 \over x} } </math>
+
<math> x_3\, = -2 </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 8|1.1 Svar 8|Lösning 8|1.1 Lösning 8}}
+
== 12) ==
 +
<math> x = 9\, </math>
  
−
== Övning 9 ==
+
== 13) ==
−
<div class="ovning">
+
<math> x = -{1 \over 4} </math>
−
Kasta om siffrorna i talet 8 239 ska så att man får ett fyrasiffrigt tal som är så nära 3 000 som möjligt.
+
-->
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 9|1.1 Svar 9|Lösning 9|1.1 Lösning 9}}
 
  
−
== MVG-övningar: 10-11 ==
 
  
−
== Övning 10 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Lös följande rotekvation:
 
  
−
<math> \sqrt{ x + 2 + \sqrt{2\;x + 7}} = 4 </math>
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 10|1.1 Svar 10|Lösning 10|1.1 Lösning 10}}
 
  
−
== Övning 11 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Ange talet 24 391 som en summa av termer där varje term har formen "(siffra 0-9) multiplicerad med 10-potenser".
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 11|1.1 Svar 11|Lösning 11|1.1 Lösning 11}}
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 22 januari 2019 kl. 16.05

        <<  Repetitioner          Genomgång          Övningar          Lektion 2 Grafritning & ...  >>      


E-övningar: 1-3


Övning 1

Lös följande rotekvationer:

a)   \( \sqrt{x} = 9 \)

b)   \( \sqrt{x} = - 9 \)

c)   \( 5 - \sqrt{x} = 1 \)

Svar 1a
1.1 Svar 1a
Lösning 1a
1.1 Lösning 1a
Svar 1b
1.1 Svar 1b
Lösning 1b
1.1 Lösning 1b
Svar 1c
1.1 Svar 1c
Lösning 1c
1.1 Lösning 1c


Övning 2

Lös följande ekvationer med den metod som förklaras i genomgången.

a)   \( 2 \,\cdot \, \sqrt{x} - x = 1 \)

b)   \( x + \sqrt{5\,x - 1} = 3 \)

c)   \( 6\,x - 3\,\sqrt{9+x} = -9 \)

Svar 2a
1.1 Svar 2a
Lösning 2a
1.1 Lösning 2a
Svar 2b
1.1 Svar 2b
Lösning 2b
1.1 Lösning 2b
Svar 2c
1.1 Svar 2c
Lösning 2c
1.1 Lösning 2c


Övning 3

Lös följande rotekvationer:

a)   \( x = \sqrt{x+7} - 1 \)

b)   \( {x + \sqrt{x} \over 7} \) \( = 6 \)

c)   \( 2\,(x + 8) = 9\,\sqrt{4\,x} \)

Svar 3a
1.1 Svar 3a
Lösning 3a
1.1 Lösning 3a
Svar 3b
1.1 Svar 3b
Lösning 3b
1.1 Lösning 3b
Svar 3c
1.1 Svar 3c
Lösning 3c
1.1 Lösning 3c



C-övningar: 4-8


Övning 4

Lös rotekvationen

a)   \( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)

b)   Rita graferna till funktionerna \( y_1 = \sqrt{x^2 + 1} \) och \( y_2 = x - 3\, \) i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -10, Xmax = 10, Xscl = 2, Ymin = -10, Ymax = 10, Yscl = 2. Motivera ditt svar i a) med hjälp av graferna.

c)   Rita graferna till funktionerna \( \displaystyle y_1 = x^2 + 1 \) och \( y_2 = (x - 3)^2\, \) i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -3, Xmax = 6, Xscl = 1, Ymin = 0, Ymax = 10, Yscl = 1. Tolka resultatet.

Svar 4a
1.1 Svar 4a
Lösning 4a
1.1 Lösning 4a
Lösning 4b
1.1 Lösning 4b
Lösning 4c
1.1 Lösning 4c


Övning 5

a)   Modifiera rotekvationen

\( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)

i övning 4 så att den får en lösning genom att titta på grafen som du (förhoppningsvis) ritade i övning 4b. Rita graferna till funktionerna på bägge leden av den modifierade rotekvationen i ett och samma koordinatsystem så att man ser lösningen grafiskt. Använd samma inställningar för WINDOW i din grafritande räknare som i övning 4b.

b)   Lös den modifierade rotekvationen algebraiskt. Ange svaret med 2 decimalers noggrannhet.

Svar 5a
1.1 Svar 5a
Lösning 5a
1.1 Lösning 5a
Svar 5b
1.1 Svar 5b
Lösning 5b
1.1 Lösning 5b


Övning 6

Lös ekvationen:

\[ x^4 - 29\;x^2 = -100 \]
Svar 6
1.1 Svar 6
Lösning 6
1.1 Lösning 6


Övning 7

Lös följande ekvation, som är samma som i övning 2a, här med substitutionen \( t = \sqrt{x} \):

\[ 2\,\sqrt{x} - x = 1 \]
Svar 7
1.1 Svar 7
Lösning 7
1.1 Lösning 7


Övning 8

Lös följande ekvation och ange svaret med två decimaler:

\[ x\,\sqrt{x}\, + 4 = 8 \]
Svar 8
1.1 Svar 8
Lösning 8
1.1 Lösning 8



A-övningar: 9-13


Övning 9

Lös följande rotekvation exakt:

\[ 2 = - { x \over \sqrt{1-x^2} } \]
Svar 9
1.1 Svar 9
Lösning 9
1.1 Lösning 9


Övning 10

Lös följande ekvation exakt genom att använda en lämplig substitution:

\[ {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} \]
Svar 10
1.1 Svar 10
Lösning 10
1.1 Lösning 10


Övning 11

Lös följande 4:e gradsekvation med en lämplig substitution:

\[ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2}\,-\,(x^2 + 4\,x + 1) \]
Svar 11
1.1 Svar 11
Lösning 11
1.1 Lösning 11


Övning 12

Lös ekvationen:

\[ \sqrt{ x + 2 + \sqrt{2\;x + 7}} = 4 \]


Övning 13

Undersök om följande ekvation har en lösning. Om ja ange den. Om nej motivera:

\[ 6\;x = 1 - \sqrt{ 36\;x^2 - {1 \over x} } \]
Svar 13
1.1 Svar 13
Lösning 13
1.1 Lösning 13




Copyright © 2011-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=Övningar_till_Rotekvationer_och_högre_gradsekvationer&oldid=28298"