Skillnad mellan versioner av "Övningar till Rotekvationer och högre gradsekvationer"
Taifun (Diskussion | bidrag) (Created page with "__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Not selected tab|[[1.1 Ekvatione...") |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
(300 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
Rad 2: | Rad 2: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
− | {{Not selected tab|[[ | + | {{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| << Repetitioner]]}} |
− | {{Selected tab|[[ | + | {{Not selected tab|[[Rotekvationer och högre gradsekvationer|Genomgång]]}} |
+ | {{Selected tab|[[Övningar till Rotekvationer och högre gradsekvationer|Övningar]]}} | ||
+ | {{Not selected tab|[[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare|Lektion 2 Grafritning & ... >> ]]}} | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
− | |||
− | + | <Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-3</span></Big></Big></Big> | |
− | < | + | |
− | + | ||
− | |||
− | b | + | == <b>Övning 1</b> == |
+ | <div class="ovnE"> | ||
+ | Lös följande rotekvationer: | ||
− | < | + | a) <math> \sqrt{x} = 9 </math> |
− | = | + | b) <math> \sqrt{x} = - 9 </math> |
− | < | + | |
− | + | ||
− | + | c) <math> 5 - \sqrt{x} = 1 </math> | |
− | + | {{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.1 Svar 1a|Lösning 1a|1.1 Lösning 1a|Svar 1b|1.1 Svar 1b|Lösning 1b|1.1 Lösning 1b|Svar 1c|1.1 Svar 1c|Lösning 1c|1.1 Lösning 1c}}</div> | |
− | |||
− | == Övning | + | == <b>Övning 2</b> == |
− | <div class=" | + | <div class="ovnE"> |
− | + | Lös följande ekvationer med den metod som förklaras i genomgången. | |
− | < | + | a) <math> 2 \,\cdot \, \sqrt{x} - x = 1 </math> |
− | = | + | b) <math> x + \sqrt{5\,x - 1} = 3 </math> |
− | < | + | |
− | + | ||
− | < | + | c) <math> 6\,x - 3\,\sqrt{9+x} = -9 </math> |
− | + | {{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.1 Svar 2a|Lösning 2a|1.1 Lösning 2a|Svar 2b|1.1 Svar 2b|Lösning 2b|1.1 Lösning 2b|Svar 2c|1.1 Svar 2c|Lösning 2c|1.1 Lösning 2c}}</div> | |
− | <div | + | |
− | + | ||
− | |||
− | == Övning | + | == <b>Övning 3</b> == |
− | <div class=" | + | <div class="ovnE"> |
− | + | Lös följande rotekvationer: | |
− | < | + | a) <math> x = \sqrt{x+7} - 1 </math> |
− | + | b) <big><math> {x + \sqrt{x} \over 7} </math></big> <math> = 6 </math> | |
− | + | c) <math> 2\,(x + 8) = 9\,\sqrt{4\,x} </math> | |
− | < | + | |
− | + | ||
− | + | {{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.1 Svar 3a|Lösning 3a|1.1 Lösning 3a|Svar 3b|1.1 Svar 3b|Lösning 3b|1.1 Lösning 3b|Svar 3c|1.1 Svar 3c|Lösning 3c|1.1 Lösning 3c}}</div> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | < | + | <Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 4-8</span></Big></Big></Big> |
− | |||
− | == Övning | + | == <b>Övning 4</b> == |
− | <div class=" | + | <div class="ovnC"> |
− | + | Lös rotekvationen | |
− | < | + | a) <math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math> |
− | == | + | b) Rita graferna till funktionerna <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> och <math> y_2 = x - 3\, </math> i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -10, Xmax = 10, Xscl = 2, Ymin = -10, Ymax = 10, Yscl = 2. Motivera ditt svar i a) med hjälp av graferna. |
− | + | ||
− | + | ||
− | </div>{{#NAVCONTENT:Svar 11|1.1 Svar 11|Lösning 11|1.1 Lösning 11}} | + | c) Rita graferna till funktionerna <math> \displaystyle y_1 = x^2 + 1 </math> och <math> y_2 = (x - 3)^2\, </math> i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -3, Xmax = 6, Xscl = 1, Ymin = 0, Ymax = 10, Yscl = 1. Tolka resultatet. |
+ | |||
+ | {{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.1 Svar 4a|Lösning 4a|1.1 Lösning 4a|Lösning 4b|1.1 Lösning 4b|Lösning 4c|1.1 Lösning 4c}}</div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == <b>Övning 5</b> == | ||
+ | <div class="ovnC"> | ||
+ | a) Modifiera rotekvationen | ||
+ | |||
+ | <math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math> | ||
+ | |||
+ | i övning 4 så att den får en lösning genom att titta på grafen som du (förhoppningsvis) ritade i [[1.1 Lösning 4b|övning 4b]]. Rita graferna till funktionerna på bägge leden av den modifierade rotekvationen i ett och samma koordinatsystem så att man ser lösningen grafiskt. Använd samma inställningar för WINDOW i din grafritande räknare som i [[1.1 Lösning 4b|övning 4b]]. | ||
+ | |||
+ | b) Lös den modifierade rotekvationen algebraiskt. Ange svaret med 2 decimalers noggrannhet. | ||
+ | |||
+ | {{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.1 Svar 5a|Lösning 5a|1.1 Lösning 5a|Svar 5b|1.1 Svar 5b|Lösning 5b|1.1 Lösning 5b}}</div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == <b>Övning 6</b> == | ||
+ | <div class="ovnC"> | ||
+ | Lös ekvationen: | ||
+ | |||
+ | ::<math> x^4 - 29\;x^2 = -100 </math> | ||
+ | |||
+ | {{#NAVCONTENT:Svar 6|1.1 Svar 6|Lösning 6|1.1 Lösning 6}}</div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == <b>Övning 7</b> == | ||
+ | <div class="ovnC"> | ||
+ | Lös följande ekvation, som är samma som i övning 2a, här med substitutionen <math> t = \sqrt{x} </math>: | ||
+ | |||
+ | ::<math> 2\,\sqrt{x} - x = 1 </math> | ||
+ | |||
+ | {{#NAVCONTENT:Svar 7|1.1 Svar 7|Lösning 7|1.1 Lösning 7}}</div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == <b>Övning 8</b> == | ||
+ | <div class="ovnC"> | ||
+ | Lös följande ekvation och ange svaret med två decimaler: | ||
+ | |||
+ | ::<math> x\,\sqrt{x}\, + 4 = 8 </math> | ||
+ | |||
+ | {{#NAVCONTENT:Svar 8|1.1 Svar 8|Lösning 8|1.1 Lösning 8}}</div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 9-13</span></Big></Big></Big> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == <b>Övning 9</b> == | ||
+ | <div class="ovnA"> | ||
+ | Lös följande rotekvation exakt: | ||
+ | |||
+ | ::<math> 2 = - { x \over \sqrt{1-x^2} } </math> | ||
+ | |||
+ | {{#NAVCONTENT:Svar 9|1.1 Svar 9|Lösning 9|1.1 Lösning 9}}</div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == <b>Övning 10</b> == | ||
+ | <div class="ovnA"> | ||
+ | Lös följande ekvation exakt genom att använda en lämplig substitution: | ||
+ | |||
+ | ::<math> {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} </math> | ||
+ | |||
+ | {{#NAVCONTENT:Svar 10|1.1 Svar 10|Lösning 10|1.1 Lösning 10}}</div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == <b>Övning 11</b> == | ||
+ | <div class="ovnA"> | ||
+ | Lös följande 4:e gradsekvation med en lämplig substitution: | ||
+ | |||
+ | ::<math> {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2}\,-\,(x^2 + 4\,x + 1) </math> | ||
+ | |||
+ | {{#NAVCONTENT:Svar 11|1.1 Svar 11|Lösning 11|1.1 Lösning 11}}</div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == <b>Övning 12</b> == | ||
+ | <div class="ovnA"> | ||
+ | Lös ekvationen: | ||
+ | |||
+ | ::<math> \sqrt{ x + 2 + \sqrt{2\;x + 7}} = 4 </math> | ||
+ | </div> | ||
+ | <!-- {{#NAVCONTENT:Svar 12|1.1 Svar 12|Lösning 12|1.1 Lösning 12}} | ||
+ | --> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == <b>Övning 13</b> == | ||
+ | <div class="ovnA"> | ||
+ | Undersök om följande ekvation har en lösning. Om ja ange den. Om nej motivera: | ||
+ | |||
+ | ::<math> 6\;x = 1 - \sqrt{ 36\;x^2 - {1 \over x} } </math> | ||
+ | |||
+ | {{#NAVCONTENT:Svar 13|1.1 Svar 13|Lösning 13|1.1 Lösning 13}}</div> | ||
+ | <!-- Alternativt: | ||
+ | :<small><small>[[1.1 Svar 13|Svar 13]] | [[1.1 Lösning 13|Lösning 13]]</small></small> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | = Facit = | ||
+ | |||
+ | == 1a) == | ||
+ | <math> \displaystyle 81 </math> | ||
+ | |||
+ | == 1b) == | ||
+ | Ekvationen saknar lösning. | ||
+ | |||
+ | == 1c) == | ||
+ | <math> x = 16\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 2a) == | ||
+ | <math> x = 1\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 2b) == | ||
+ | <math> x = 1\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 2c) == | ||
+ | <math> x = 0\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 3a) == | ||
+ | <math> x = 2\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 3b) == | ||
+ | <math> x = 36\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 3c) == | ||
+ | <math> x_1 = 64\, </math> | ||
+ | |||
+ | <math> x_2 = 1\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 4a) == | ||
+ | Ekvationen saknar lösning. | ||
+ | |||
+ | == 4b) == | ||
+ | Graferna till <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> och <math> \displaystyle y_2 = x - 3 </math> ritade i samma koordinatsystem: | ||
+ | |||
+ | [[Image: Rotekv_Övn_4bR.jpg]] | ||
+ | |||
+ | Bilden visar att kurvan <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> (blå) och linjen <math> \displaystyle y_2 = x - 3 </math> (grön) inte skär varandra. Dvs de har ingen gemensam punkt där deras funktionsvärden överensstämmer. | ||
+ | |||
+ | Detta bekräftar att ekvationen | ||
+ | |||
+ | <math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math> | ||
+ | |||
+ | saknar lösning vilket visades i lösningen till [[1.1 Lösning 4a|övning 4a]]. | ||
+ | |||
+ | == 4c) == | ||
+ | Graferna till <math> \displaystyle y_1 = x^2 + 1 </math> och <math> \displaystyle y_2 = (x - 3)^2 </math> ritade i samma koordinatsystem: | ||
+ | |||
+ | [[Image: Rotekv_kvadrerad_Övn_4c.jpg]] | ||
+ | |||
+ | Bilden visar att kurvorna <math> \displaystyle y_1 = x^2 + 1 </math> (blå) och <math> \displaystyle y_2 = (x - 3)^2 </math> (grön) skär varandra i en punkt. Detta innebär att ekvationen | ||
+ | |||
+ | <math> \displaystyle x^2 + 1 = (x - 3)^2 </math> | ||
+ | |||
+ | har en lösning som kan avläsas från grafen till ca. <math> \displaystyle x \approx 1,3 </math>. Men denna ekvation uppstår när man kvadrerar den ursprungliga rotekvationen | ||
+ | |||
+ | <math> \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 </math> | ||
+ | |||
+ | Dvs den kvadrerade ekvationen har en lösning som är den ursprungliga rotekvationens falska rot som är exakt <math> \displaystyle x = {4 \over 3} </math> vilket visades i lösningen till [[1.1 Lösning 4a|övning 4a]]. | ||
+ | |||
+ | == 5a) == | ||
+ | Den modifierade ekvationen är: | ||
+ | |||
+ | <math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math> | ||
+ | |||
+ | == 5b) == | ||
+ | <math> x = 1,64\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 6) == | ||
+ | Ekvationen | ||
+ | |||
+ | <math> x^4 - 29\;x^2 = -100 </math> | ||
+ | |||
+ | har lösningarna: | ||
+ | |||
+ | <math> x_1 = 5\, </math> | ||
+ | |||
+ | <math> x_2 = -5\, </math> | ||
+ | |||
+ | <math> x_3 = 2\, </math> | ||
+ | |||
+ | <math> x_4 = -2\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 7) == | ||
+ | <math> x = 1\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 8) == | ||
+ | <math> x = 2,52\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 9) == | ||
+ | <math> x = - \; { 2 \over \sqrt{5} } </math> | ||
+ | |||
+ | == 10) == | ||
+ | <math> x = {1 \over 289} </math> | ||
+ | |||
+ | == 11) == | ||
+ | <math> x_1\, = 0 </math> | ||
+ | |||
+ | <math> x_2\, = -4 </math> | ||
+ | |||
+ | <math> x_3\, = -2 </math> | ||
+ | |||
+ | == 12) == | ||
+ | <math> x = 9\, </math> | ||
+ | |||
+ | == 13) == | ||
+ | <math> x = -{1 \over 4} </math> | ||
+ | --> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 22 januari 2019 kl. 16.05
<< Repetitioner | Genomgång | Övningar | Lektion 2 Grafritning & ... >> |
E-övningar: 1-3
Övning 1
Lös följande rotekvationer:
a) \( \sqrt{x} = 9 \)
b) \( \sqrt{x} = - 9 \)
c) \( 5 - \sqrt{x} = 1 \)
Övning 2
Lös följande ekvationer med den metod som förklaras i genomgången.
a) \( 2 \,\cdot \, \sqrt{x} - x = 1 \)
b) \( x + \sqrt{5\,x - 1} = 3 \)
c) \( 6\,x - 3\,\sqrt{9+x} = -9 \)
Övning 3
Lös följande rotekvationer:
a) \( x = \sqrt{x+7} - 1 \)
b) \( {x + \sqrt{x} \over 7} \) \( = 6 \)
c) \( 2\,(x + 8) = 9\,\sqrt{4\,x} \)
C-övningar: 4-8
Övning 4
Lös rotekvationen
a) \( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)
b) Rita graferna till funktionerna \( y_1 = \sqrt{x^2 + 1} \) och \( y_2 = x - 3\, \) i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -10, Xmax = 10, Xscl = 2, Ymin = -10, Ymax = 10, Yscl = 2. Motivera ditt svar i a) med hjälp av graferna.
c) Rita graferna till funktionerna \( \displaystyle y_1 = x^2 + 1 \) och \( y_2 = (x - 3)^2\, \) i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -3, Xmax = 6, Xscl = 1, Ymin = 0, Ymax = 10, Yscl = 1. Tolka resultatet.
Övning 5
a) Modifiera rotekvationen
\( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)
i övning 4 så att den får en lösning genom att titta på grafen som du (förhoppningsvis) ritade i övning 4b. Rita graferna till funktionerna på bägge leden av den modifierade rotekvationen i ett och samma koordinatsystem så att man ser lösningen grafiskt. Använd samma inställningar för WINDOW i din grafritande räknare som i övning 4b.
b) Lös den modifierade rotekvationen algebraiskt. Ange svaret med 2 decimalers noggrannhet.
Övning 6
Övning 7
Lös följande ekvation, som är samma som i övning 2a, här med substitutionen \( t = \sqrt{x} \):
- \[ 2\,\sqrt{x} - x = 1 \]
Övning 8
Lös följande ekvation och ange svaret med två decimaler:
- \[ x\,\sqrt{x}\, + 4 = 8 \]
A-övningar: 9-13
Övning 9
Lös följande rotekvation exakt:
- \[ 2 = - { x \over \sqrt{1-x^2} } \]
Övning 10
Lös följande ekvation exakt genom att använda en lämplig substitution:
- \[ {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} \]
Övning 11
Lös följande 4:e gradsekvation med en lämplig substitution:
- \[ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2}\,-\,(x^2 + 4\,x + 1) \]
Övning 12
Lös ekvationen:
- \[ \sqrt{ x + 2 + \sqrt{2\;x + 7}} = 4 \]
Övning 13
Undersök om följande ekvation har en lösning. Om ja ange den. Om nej motivera:
- \[ 6\;x = 1 - \sqrt{ 36\;x^2 - {1 \over x} } \]
Copyright © 2011-2019 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.