3.5 Övningar till Extremvärdesproblem

<< Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

E-övningar: 1-5

Övning 1

I figuren till höger rör sig punkten

$\, P \,$ på den räta linje vars ekvation är:

$y = -\,{6 \over 5}\,x + 4$

Vilken position av $\, P \, (x, \, y) \,$ ger maximal area till den skuggade rektangeln?

a) Vad är problemets bivillkor?

b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion av endast en variabel.

c) Bestäm koordinaterna till $\, P \,$ så att rektangelns area blir maximal.

d) Beräkna rektangelns maximala area.

Övning 2

En rektangel har omkretsen

$\, 12 \, {\rm cm} \,$ . Maximera rektangelns area.

a) Formulera problemets bivillkor.

b) Ange problemets målfunktion.

c) Bestäm sidorna $\, x \,$ och $\, y \,$ så att rektangelns area blir maximal.

d) Vad blir rektangelns maximala area?

Övning 3

En rektangels area är

$\, 25 \, {\rm cm}^2 \,$ . Minimera rektangelns omkrets.

a) Formulera problemets bivillkor.

b) Ange problemets målfunktion.

c) Bestäm sidorna $\, x \,$ och $\, y \,$ så att rektangelns omkrets blir minimal.

d) Vad blir rektangelns minimala omkrets?

Övning 4

En rätvinklig triangel är inbunden i en parabel enligt figuren:

Parabeln är definierad genom:

$y \, = \, 6 \, x \, - \, x^2 \qquad {\rm med} \qquad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 6$

Punkten $\, P\,(x,\,y) \,$ rör sig på parabeln.

Vilken position av $\, P \,$ ger triangeln största möjliga arean $\, A \,$ ?

a) Ange problemets bivillkor.

b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion $\, A(x) \,$ .

c) Bestäm koordinaterna till $\, P \,$ så att triangelns area blir maximal.

d) Beräkna triangelns maximala area.

Övning 5

En fårherde vill samla sina får under en sommarnatt vid en mur i ett rektan-

gulärt område som hon/han avgränsar med hjälp av ett rep på $\, 9 \; {\rm m} \,$ (rött)

och pinnar i marken enligt figuren.

Hur ska fårherden välja stängselns mått för att få den största möjliga ytan för

sina får?

a) Formulera problemets målfunktion $\, A(x) \,$ .

b) Ange målfunktionens definitionsmängd.

c) Bestäm $\, x \,$ så att stängselns area blir maximal.

d) Beräkna stängselns maximala area.

e) Har problemet ett bivillkor? Om ja, ange det.

f) Kan du intuitivt komma på andra geometriska figurer än rektangeln som

skulle kunna maximera stängselns area bättre?

C-övningar: 6-7

Övning 6

Du ska bygga en öppen låda av en kvadratisk kartong på

$\, 10 \times 10 \; {\rm dm} \,$ .

Det gör du genom att skära ut små kvadrater av längden $\, x \,$ från karton-

gens fyra hörn enligt figuren.

Hur ska du välja $\, x \,$ för att få den största möjliga volymen $\, V \,$ för din

öppna låda?

a) Inför en ny beteckning och ange problemets bivillkor, se Lösning 5 e).

b) Ställ upp problemets målfunktion $\, V(x) \,$ .

c) Ange målfunktionens definitionsmängd.

d) Bestäm $\, x \,$ så att lådans volym $\, V(x) \,$ blir maximal.

e) Beräkna lådans maximala volym.

f) Vilka mått har lådan med maximal volym?

Ange dina svar med två decimaler.

Övning 7

SJ har $\, 20\,000 \,$ passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på $\, 200 \,$ kr.

En marknadsundersökning visar att varje höjning av biljettpriset med $\, 1 \,$ kr skulle medföra en förlust av $\, 80 \,$ passagerare per månad.

Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad?

a) Ange problemets bivillkor om:

$\qquad\;\; x \, = \,$ Den planerade prishöjningen i kr.

$\qquad\;\; y \, = \,$ Antalet passagerare per månad efter prishöjningen $\, x \,$ .

b) Ställ upp problemets målfunktion $\, I(x) \,$ för SJ:s intäkt per månad.

c) Bestäm $\, x \,$ så att intäkten $\, I(x) \,$ blir så stor som möjligt.

d) Beräkna den maximala intäkten efter en biljettprishöjning på $\, x \,$ kr.

e) För vilka prishöjningar kommer det inte längre att löna sig att höja biljettpriset?

A-övningar: 8-9

Övning 8

En cylinder är placerad inuti en kon enligt figuren. Kons mått är givna:

$R \, = \, {\rm Radien\;till\;kons\;bascirkel\;} \, = \, 15 \; {\rm cm}$

$H \, = \, {\rm Kons\;höjd\;} \, = \, 30 \; {\rm cm}$

Vilka mått på cylindern maximerar dess volym $\, V \,$ ?

a) Formulera problemets bivillkor. Använd den röda triangeln i figuren.

b) Ställ upp problemets målfunktion $\, V(r) \,$ där $r =$ cylinderns radie.

c) Bestäm cylinderns radie $\, r \,$ och höjd $\, h \,$ så att volymen blir maximal.

d) Beräkna cylinderns maximala volym.

e) Vilket förhållande råder mellan cylinderns radie $\, r \,$ och dess höjd $\, h \,$

när volymen maximeras?

Övning 9

För att producera en cylinderformad konservburk har man en viss mängd

$\, A \,$

plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea $\, = \, A \; {\rm cm}^2 \,$ .

I genomgången, Exempel 3 Konservburk, löstes denna uppgift för $\, A = 500$ .

Här ska du lösa den generellt för en given konstant $\, A \,$ .

Vilka mått på konserven maximerar volymen?

a) Formulera problemets bivillkor.

b) Ställ upp problemets målfunktion.

c) Bestäm cylinderns radie så att burkens volym blir maximal.

d) Bestäm cylinderns höjd när burkens volym maximeras och visa:

För en cylinder med maximal volym gäller för radien

$\, r \,$ och höjden

$\, h \,$ :

$2 \; r \; = \; h$

3.5 Övningar till Extremvärdesproblem

Övning 1

Övning 2

Övning 3

Övning 4

Övning 5

Övning 6

Övning 7

Övning 8

Övning 9

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 1b

Matematik 3c

Sök