3.5 Lösning 3c

Vi deriverar målfunktionen:

\[ O\,(x) \, = \, 2\,x \, + \, {50 \over x} \, = \, 2\,x \, + \, 50\cdot {1 \over x} \]

\[ O'(x) \, = \, 2 \, - \, {50 \over x^2} \, = \, 2 \, - \, 50 \cdot x^{-2} \]

\[ O''(x) \, = \, -(-2)\cdot 50 \cdot x^{-3} \, = \, {100 \over x^3} \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} O'(x) & = & 2 \, - \, {50 \over x^2} & = & 0 \\ & & 2 & = & {50 \over x^2} \\ & & 2\,x^2 & = & 50 \\ & & x^2 & = & 25 \\ & & x_1 & = & 5 \\ & & x_2 & = & -5 \end{array}\]

\( x_2 = -5 \) förkastas pga längd inte kan vara negativ.

Andraderivatans tecken för \( \, x = 5 \, \):

\( O''(5) = \displaystyle {100 \over 5^3} \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad O(x) \, \) har ett lokalt minimum för \( \, x = 5 \, \).

\( x = 5 \, \) är rektangelns ens sida. För att få den andra sidan \( \, y \, \) sätter vi in \( \, x = 5 \, \) i bivillkoret från a):

\[ y \ = \, {25 \over x} \, = \, {25 \over 5} \ = \, 5 \]

För \( \, x = 5 \, \) och \( \, y = 5 \, \) blir rektangelns omkrets minimal.

Rektangeln med arean \( \, 25 \, \) och minimal omkrets är en kvadrat med sidan \( \, 5 \, \).