3.5 Lösning 8b

Cylinderns volym \( \, V \, \) är basytan \( \times \) höjden dvs:

\[ V\,(r, \, h) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; h \]

Vi sätter in bivillkoret från a), dvs \( \, h = -2\,r + 30 \, \), i \( \, V\,(r, \, h) \, \):

\[ V\,(r, \, h) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; h \, = \, \pi\,r^2\cdot (-2\, r + 30) \, = \, - 2\,\pi\,r^3 + 30\,\pi\,r^2 \]

Därmed blir målfunktionen:

\[ V(r) \, = \, 30\,\pi\,r^2 \, - 2\,\pi\,r^3 \]