3.5 Lösning 9d

För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, \) i bivillkoret från a):

\( h \, = \, \displaystyle {A \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {A \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi}} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} \over 2\,\pi\cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \, {\color{Red} {\cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi}}} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, \)

\( \, = \, \displaystyle {A \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \over 2\,\pi\cdot {A \over 6\,\pi} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, {A \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \over {A \over 3} } \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \, 3 \, \cdot \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, - \, \sqrt{A \over 6\,\pi} \, = \)

\( \, = \, \displaystyle{2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi}} \)

Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; \displaystyle r = \sqrt{A \over 6\,\pi} \; \) och höjden \( \; \displaystyle h = 2 \cdot \sqrt{A \over 6\,\pi} \; \).

Därmed är det också bevisat att \( \; \displaystyle r \, = \, 2 \cdot h \, \).