3.5 Lösning 9c

Målfunktionen maximeras:

\[ V(r) \, = \, {A \over 2} \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]

\[ V'(r) \, = \, {A \over 2} \, - \, 3\,\pi\,r^2 \]

\[ V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & {A \over 2} \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & {A \over 2} & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {A \over 6\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{A \over 6\,\pi} \end{array}\]

\( \, r_2 = \displaystyle -\sqrt{A \over 6\,\pi} \, \) förkastas, för radien kan inte bli negativ: \( \, r \, > \, 0 \, \) .

Andraderivatans tecken för \( \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, \):

\( V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = \displaystyle \sqrt{A \over 6\,\pi} \, \).

Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; \displaystyle r = \sqrt{A \over 6\,\pi} \; \).