3.5 Lösning 9b
Från Mathonline
Cylinderns volym \( \, V \, \) är: \( \quad V\,(r, \, h) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; h \, \)
Vi sätter vi in bivillkoret \( \quad h \, = \, \displaystyle {A \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \quad \) från a) i \( \, V\,(r, \, h) \, \) ovan och eliminerar \( \, h \, \):
- \[ V\,(r, \, h) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; h \, = \, \pi\,r^2\cdot \left({A \over 2\,\pi\,r} \, - \, r\right) \, = \, {A\,\pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, {A \over 2} \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]
Därmed är målfunktionen:
- \[ V(r) \, = \, {A \over 2} \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]