Två polynom är givna\[ P_1(x) = 3\,x - 5 \] och \( P_2(x) = - 8\,x - 6 \). Bilda deras

a) summa

b) differens

c) produkt

d) kvot

Förenkla så mycket som möjligt. Ange varje gång om resultatet är ett polynom. I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.

Gör samma sak som i övning 1 ovan med polynomen \( P_1(x) = 4\,x^2 - 7\,x + 2 \) och \( P_2(x) = -4\,x^2 - 5\,x \).

Följande uttryck är givet\[ P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) \]

a) Skriv \( P(x)\, \) som ett polynom.

b) Använd polynomet från a) för att beräkna \( P(-1)\, \).

c) Bestäm alla nollställen till \( P(x)\, \).

Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:

a) \( \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 \)

b) Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för x = -2.

En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen\[ y = 90\,x - 4,9\,x^2 \]

där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.

a) Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.

b) Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.

Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:

a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.

b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.

c) När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.

Följande två polynom är givna\[ U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x \]

\( U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \)

Utveckla polynomet \( \displaystyle U_5(x) \) med hjälp av formeln\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]

Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna\[ \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 \]

Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan\[ 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 \]

Två polynom är givna\[ P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b \]

\( Q(x) = 4 \cdot x - 6 \)

För vilka värden av \( a\, \) och \( b\, \) är \( P(x) = Q(x)\, \)?

Följande 2:a gradspolynom är givet:

\[ P(x) = x^2 - 10\,x + 16 \]

a) Utveckla uttrycket \( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) \) till ett polynom. Bestäm \( a\, \) och \( b\, \) så att \( P(x) = Q(x)\, \). Använd jämförelse av koefficienter.

b) Visa att de värden du får för \( a\, \) och \( b\, \) i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:

\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]

Visa att 2:a gradspolynomet \( P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 \) kan skrivas som

\[ (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) \]

vilket innebär en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \). Bestäm a, b, c och d genom att:

a) Hitta först polynomet \( P(x)\, \):s rötter \( x_1\, \) och \( x_2\, \) exakt, dvs bibehåll bråkformen.

b) Sätt sedan \( P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \) och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.