1.1 Övningar till Polynom

Genomgång

Övningar

Formelsamling Matte 3

Fördjupning

Nästa demoavsnitt >>

E-övningar: 1-6

Övning 1

Två förstagradspolynom är givna:

$3\,x - 5 \qquad {\rm och} \qquad - 8\,x - 6$

Bilda deras

$\qquad$ a) summa

$\qquad$ c) produkt

$\qquad$ b) differens

$\qquad$ d) kvot.

Förenkla så mycket som möjligt.

Ange varje gång om resultatet är ett polynom.

I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.

Övning 2

Gör samma sak som i övning 1 med andragradspolynomen

$4\,x^2 - 7\,x + 2 \qquad {\rm och} \qquad -4\,x^2 - 5\,x$

Övning 3

Följande uttryck är givet:

$P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x)$

a) Utveckla $P(x)\,$ till ett polynom.

b) Använd polynomet från a) för att beräkna $P(-1)\,$ .

c) Bestäm alla nollställen till $P(x)\,$ .

Övning 4

Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:

a) $\displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2$

b) Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för $x = -2\,$ .

Svar 4a | Lösning 4a | Svar 4b | Lösning 4b

Övning 5

En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen:

$y = 90\,x - 4,9\,x^2$

där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.

a) Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.

b) Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.

Svar & lösning 5a | Svar 5b | Lösning 5b

Övning 6

Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:

a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.

b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.

c) När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.

C-övningar: 7-10

Övning 7

Följande två Chebyshevpolynom är givna:

$U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x$

$U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1$

Utveckla $\displaystyle U_5(x)$ med hjälp av Chebyshevpolynomens rekursionsformel:

$U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ...$

Tips: Se Exempel på beräkning av Chebyshevpolynom, där $\, U_4(x) \,$ beräknas utgående från $\, U_2(x) \,$ och $\, U_3(x) \,$ med hjälp av rekursionsformeln.

Svar 7 | Lösning 7

Övning 8

Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna:

$\displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3$

Svar 8 | Lösning 8

Övning 9

Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan:

$2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1$

Lösning 9

Övning 10

Två polynom är givna:

$P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b$

$Q(x) = 4 \cdot x - 6$

För vilka värden av $a\,$ och $b\,$ är $P(x) = Q(x)\,$ ? Använd jämförelse av koefficienter.

Svar 10 | Lösning 10

A-övningar: 11-12

Övning 11

Följande 2:a gradspolynom är givet:

$P(x) = x^2 - 10\,x + 16$

a) Utveckla uttrycket $Q(x) = (x - a) \cdot (x - b)$ till ett polynom. Bestäm $a\,$ och $b\,$ så att $P(x) = Q(x)\,$ . Använd jämförelse av koefficienter.

b) Visa att de värden du får för $a\,$ och $b\,$ i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:

$x^2 - 10\,x + 16 = 0$

Svar 11a | Lösning 11a | Svar & lösning 11b

Övning 12

Visa att 2:a gradspolynomet $P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1$ kan skrivas som

$(a\,x + b) \cdot (c\,x + d)$

vilket innebär en faktorisering av polynomet $P(x)\,$ . Bestäm a, b, c och d genom att:

a) Hitta först polynomet $P(x)\,$ :s nollställen (rötter) $x_1\,$ och $x_2\,$ exakt, dvs bibehåll bråkformen.

b) Sätt sedan $P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$ och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.

Svar 12a | Lösning 12a | Svar 12b | Lösning 12b