Skillnad mellan versioner av "3.5 Övningar till Extremvärdesproblem"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 135: | Rad 135: | ||
sina får? | sina får? | ||
| − | |||
a) Formulera problemets målfunktion <math> \, A(x) \, </math>. | a) Formulera problemets målfunktion <math> \, A(x) \, </math>. | ||
Versionen från 18 maj 2015 kl. 01.00
| <-- Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv. | Lösningar till diagnosprov kap 3 |
E-övningar: 1-5
Övning 1
I figuren till höger rör sig punkten \( \, P \, \) på den räta linje vars ekvation är:
Vilken position av \( \, P \, (x, \, y) \, \) ger maximal area till den skuggade rektangeln?
b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion av endast en variabel. c) Bestäm koordinaterna till \( \, P \, \) så att rektangelns area blir maximal. d) Beräkna rektangelns maximala area. |
|
Svar 1a | Svar 1b | Lösning 1b | Svar 1c | Lösning 1c | Svar 1d | Lösning 1d
Hämtar...
Övning 2
| En rektangel har omkretsen \( \, 12 \, {\rm cm} \, \). Maximera rektangelns area.
b) Ange problemets målfunktion. c) Bestäm sidorna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) så att rektangelns area blir maximal. d) Vad blir rektangelns maximala area? |
|
Svar 2a | Lösning 2a | Svar 2b | Lösning 2b | Svar 2c | Lösning 2c | Svar 2d
Övning 3
| En rektangels area är \( \, 25 \, {\rm cm}^2 \, \). Minimera rektangelns omkrets.
b) Ange problemets målfunktion. c) Bestäm sidorna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) så att rektangelns omkrets blir minimal. d) Vad blir rektangelns minimala omkrets? |
|
Svar 3a | Lösning 3a | Svar 3b | Lösning 3b | Svar 3c | Lösning 3c | Svar 3d
Övning 4
| En rätvinklig triangel är inbunden i en parabel enligt figuren:
Parabeln är definierad genom:
Punkten \( \, P\,(x,\,y) \, \) rör sig på parabeln. Vilken position av \( \, P \, \) ger triangeln största möjliga arean \( \, A \, \)?
b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion \( \, A(x) \, \). c) Bestäm koordinaterna till \( \, P \, \) så att triangelns area blir maximal. d) Beräkna triangelns maximala area. |
|
Svar 4a | Svar 4b | Lösning 4b | Svar 4c | Lösning 4c | Svar 4d | Lösning 4d
Övning 5
| En fårherde vill samla sina får under en sommarnatt vid en mur i ett rektan-
gulärt område som hon/han avgränsar med hjälp av ett rep på \( \, 9 \; {\rm m} \, \) (rött) och pinnar i marken enligt figuren. Hur ska fårherden välja stängselns mått för att få den största möjliga ytan för sina får? a) Formulera problemets målfunktion \( \, A(x) \, \). b) Ange målfunktionens definitionsmängd. c) Bestäm \( \, x \, \) så att stängselns area blir maximal. d) Beräkna stängselns maximala area. e) Har problemet ett bivillkor? Om ja, ange det. f) Kan du intuitivt komma på andra geometriska figurer än rektangeln som
|
|
Svar 5a | Lösning 5a | Svar 5b | Svar 5c | Lösning 5c | Svar 5d | Lösning 5d | Svar 5e | Lösning 5e | Svar 5f
C-övningar: 6-7
Övning 6
| Du ska bygga en öppen låda av en kvadratisk kartong på \( \, 10 \times 10 \; {\rm dm} \, \).
Det gör du genom att skära ut små kvadrater av längden \( \, x \, \) från karton- gens fyra hörn enligt figuren. Hur ska du välja \( \, x \, \) för att få den största möjliga volymen \( \, V \, \) för din öppna låda? a) Inför en ny beteckning och ange problemets bivillkor, se Lösning 5 e). b) Ställ upp problemets målfunktion \( \, V(x) \, \). c) Ange målfunktionens definitionsmängd. d) Bestäm \( \, x \, \) så att lådans volym \( \, V(x) \, \) blir maximal. e) Beräkna lådans maximala volym. f) Vilka mått har lådan med maximal volym? Ange dina svar med två decimaler. |
|
Svar 6a | Lösning 6a | Svar 6b | Lösning 6b | Svar 6c | Lösning 6c | Svar 6d | Lösning 6d | Svar 6e | Lösning 6e | Svar 6f | Lösning 6f
Övning 7
SJ har \( \, 20\,000 \, \) passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på \( \, 200 \, \) kr.
En marknadsundersökning visar att varje höjning av biljettpriset med \( \, 1 \, \) kr skulle medföra en förlust av \( \, 80 \, \) passagerare per månad.
Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad?
a) Ange problemets bivillkor om:
- \[ x \, = \, {\rm Den\;planerade\;prishöjningen\;i\;kr.} \]
- \[ y \, = \, {\rm Antalet\;passagerare\;per\;månad\;efter\;en\;sådan\;prishöjning.} \]
b) Ställ upp problemets målfunktionen \( \, I(x) \, \) för SJ:s intäkt per månad.
c) Bestäm \( \, x \, \) så att intäkten \( \, I(x) \, \) blir så stor som möjligt.
d) Beräkna den maximala intäkten efter en biljettprishöjning på \( \, x \, \) kr.
e) För vilka prishöjningar kommer det inte längre att löna sig att höja biljettpriset?
Svar 7a | Lösning 7a | Svar 7b | Lösning 7b | Svar 7c | Lösning 7c | Svar 7d | Lösning 7d | Svar 7e | Lösning 7e
A-övningar: 8-9
Övning 8
En cylinder är placerad inuti en kon enligt figuren. Kons mått är givna:
Vilka mått på cylindern maximerar dess volym \( \, V \, \)? a) Formulera problemets bivillkor. Använd den röda triangeln i figuren. b) Ställ upp problemets målfunktion \( \, V(r) \, \) där \( r = \) cylinderns radie. c) Bestäm cylinderns radie \( \, r \, \) och höjd \( \, h \, \) så att volymen blir maximal. d) Beräkna cylinderns maximala volym. e) Vilket förhållande råder mellan cylinderns radie \( \, r \, \) och dess höjd \( \, h \, \)
|
|
Svar 8a | Lösning 8a | Svar 8b | Lösning 8b | Svar 8c | Lösning 8c | Svar 8d | Lösning 8d | Svar 8e | Lösning 8e
Övning 9
| För att producera en cylinderformad konservburk har man en viss mängd \( \, A \, \)
plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea \( \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, \). I teoridelen, Exempel 3 Konservburk, löstes denna uppgift med \(A=500\). Här ska den lösas generellt för en given konstant \( \, A \, \). Vilka mått på konserven maximerar volymen? a) Formulera problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion. c) Bestäm cylinderns radie så att burkens volym blir maximal. d) Bestäm cylinderns höjd när burkens volym maximeras och visa:
|
|
- \[ 2 \; r \; = \; h \]
Svar 9a | Lösning 9a | Svar 9b | Lösning 9b | Svar 9c | Lösning 9c | Svar 9d | Lösning 9d
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
