Skillnad mellan versioner av "1.1 Övningar till Polynom"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Facit) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 192: | Rad 192: | ||
= Facit = | = Facit = | ||
| − | |||
== 1a) == | == 1a) == | ||
| Rad 198: | Rad 197: | ||
Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11. | Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11. | ||
| − | |||
== 1b) == | == 1b) == | ||
| Rad 204: | Rad 202: | ||
Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1. | Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1. | ||
| − | |||
== 1c) == | == 1c) == | ||
| Rad 211: | Rad 208: | ||
Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30. | Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30. | ||
| − | 1d) <math> {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} </math> | + | == 1d) == |
| + | <math> {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} </math> | ||
| − | + | Inget polynom. | |
| − | 2a) <math> - 12\,x + 2</math> | + | == 2a) == |
| + | <math> - 12\,x + 2</math> | ||
| − | + | Polynom av grad 1. Koefficienter är -12 och 2. | |
| − | 2b) <math> 8\,x^2 - 2\,x + 2 </math> | + | == 2b) == |
| + | <math> 8\,x^2 - 2\,x + 2 </math> | ||
| − | + | Polynom av grad 2. Koefficienter: 8, -2 och 2. | |
| − | 2c) <math> -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x </math> | + | == 2c) == |
| + | <math> -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x </math> | ||
| − | + | Polynom av grad 4. Koefficienter: -16, 8, 27 och -10. | |
| − | 2d) <math> {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} </math> | + | == 2d) == |
| + | <math> {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} </math> | ||
| − | + | Inget polynom. | |
| − | 3a) <math> P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x </math> | + | == 3a) == |
| + | <math> P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x </math> | ||
| − | 3b) <math> \displaystyle -19 </math> | + | == 3b) == |
| + | <math> \displaystyle -19 </math> | ||
| − | 3c) <math> \displaystyle x_1 = 0 </math> | + | == 3c) == |
| + | <math> \displaystyle x_1 = 0 </math> | ||
| − | + | <math> \displaystyle x_2 = -10,5 </math> | |
| − | 4a) <math> 2\,x^2 - 2\,x + 5 </math> | + | == 4a) == |
| + | <math> 2\,x^2 - 2\,x + 5 </math> | ||
| − | 4b) <math> \displaystyle 17 </math> | + | == 4b) == |
| + | <math> \displaystyle 17 </math> | ||
| − | 5a) Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen | + | == 5a) == |
| + | Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen | ||
| − | + | <math> y = f\,(x) = 90\,x - 4,9\,x^2 </math> | |
| − | + | och får | |
| − | + | <math> f(2,586) = 90 \cdot 2,586 - 4,9 \cdot 2,586\,^2 = 199,97 </math> | |
| − | + | vilket avrundat till hela meter ger 200 m. | |
| − | + | Samma sak görs med den andra tiden 15,781 sekunder: | |
| − | + | <math> f(15,781) = 90 \cdot 15,781 - 4,9 \cdot 15,781\,^2 = 199,99 </math> | |
| − | + | Även detta ger avrundat 200 m. | |
| − | 5b) <math> \displaystyle 413 \; \rm m </math> | + | == 5b) == |
| + | <math> \displaystyle 413 \; \rm m </math> | ||
| − | 6a) Xmin = 0 | + | == 6a) == |
| + | Xmin = 0 | ||
| − | + | Xmax = 20 | |
| − | + | Xscl = 2 | |
| − | + | Ymin = 0 | |
| − | + | Ymax = 420 | |
| − | + | Yscl = 50 | |
| − | 6b) [[Image: Uppg_6b_Raket_70.jpg]] | + | == 6b) == |
| + | [[Image: Uppg_6b_Raket_70.jpg]] | ||
| − | 6c) 18,367 sekunder efter starten. | + | == 6c) == |
| + | 18,367 sekunder efter starten. | ||
| − | 7) <math> U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x </math> | + | == 7) == |
| + | <math> U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x </math> | ||
| − | 8) <math> 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 </math> | + | == 8) == |
| + | <math> 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 </math> | ||
| − | 9) Påstående: | + | == 9) == |
| + | Påstående: | ||
| − | + | <math> \displaystyle 2(x^2 - 1)^2 + (x + 2)(x^3 - 2) - 2x + x^2 - 1 = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 3 </math> | |
| − | + | Bevis: | |
| − | + | <big>VL</big> = <math> 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 = </math> | |
| − | + | = <math> 2\,(x^4 - 2\,x^2 + 1) + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math> | |
| − | + | = <math> 2\,x^4 - 4\,x^2 + 2 + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math> | |
| − | + | = <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math> | |
| − | + | <big>HL</big> = <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math> | |
| − | + | <big>VL = HL</big> <math> \Rightarrow </math> påståendet är bevisat. | |
| − | 10) <math> a = 2\, </math> | + | == 10) == |
| + | <math> a = 2\, </math> | ||
| − | + | <math> b = 3\, </math> | |
| − | 11a) <math> Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b </math> | + | == 11a) == |
| + | <math> Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b </math> | ||
| − | + | <math> a = 2\, </math> | |
| − | + | <math> b = 8\, </math> | |
| − | 11b) 2 och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen: | + | == 11b) == |
| + | 2 och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen: | ||
| − | + | :<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math> | |
| − | + | Prövning för 2: | |
| − | + | VL: <math> 2^2 - 10\cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 </math> | |
| − | + | HL: <math> 0 </math> | |
| − | + | VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 2 är en lösning. | |
| − | + | Prövning för 8: | |
| − | + | VL: <math> 8^2 - 10\cdot 8 + 16 = 64 - 80 + 16 = 0 </math> | |
| − | + | HL: <math> 0 </math> | |
| − | + | VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 8 är en lösning. | |
| − | 12a) <math> x_1\, = {1 \over 8} </math> | + | == 12a) == |
| + | <math> x_1\, = {1 \over 8} </math> | ||
| − | + | <math> x_2\, = -1 </math> | |
| − | 12b) <math> k\, = 8 </math> | + | == 12b) == |
| + | <math> k\, = 8 </math> | ||
| − | + | <math> a\, = 8 </math> | |
| − | + | <math> b\, = -1 </math> | |
| − | + | <math> c\, = 1 </math> | |
| − | + | <math> d\, = 1 </math> | |
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved. | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved. | ||
Versionen från 10 oktober 2011 kl. 09.00
| Teori | Övningar |
G-övningar: 1-6
Övning 1
Två polynom är givna\[ P_1(x) = 3\,x - 5 \] och \( P_2(x) = - 8\,x - 6 \). Bilda deras
- a) summa
- b) differens
- c) produkt
- d) kvot
Förenkla så mycket som möjligt. Ange varje gång om resultatet är ett polynom. I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.
Hämtar...Alternativt:
- Svar 1a | Lösning 1a | Svar 1b | Lösning 1b | Svar 1c | Lösning 1c | Svar 1d | Lösning 1d
Övning 2
Gör samma sak som i övning 1 ovan med polynomen \( P_1(x) = 4\,x^2 - 7\,x + 2 \) och \( P_2(x) = -4\,x^2 - 5\,x \).
Alternativt:
- Svar 2a | Lösning 2a | Svar 2b | Lösning 2b | Svar 2c | Lösning 2c | Svar 2d | Lösning 2d
Övning 3
Följande uttryck är givet\[ P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) \]
a) Skriv \( P(x)\, \) som ett polynom.
b) Använd polynomet från a) för att beräkna \( P(-1)\, \).
c) Bestäm alla nollställen till \( P(x)\, \).
Alternativt:
- Svar 3a | Lösning 3a | Svar 3b | Lösning 3b | Svar 3c | Lösning 3c
Övning 4
Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:
a) \( \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 \)
b) Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för x = -2.
Alternativt:
- Svar 4a | Lösning 4a | Svar 4b | Lösning 4b
Övning 5
En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen\[ y = 90\,x - 4,9\,x^2 \]
där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.
a) Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.
b) Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.
Alternativt:
Övning 6
Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:
a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.
b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.
c) När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.
Alternativt:
- Svar 6a | Lösning 6a | Svar 6b | Lösning 6b | Svar 6c | Lösning 6c
VG-övningar: 7-10
Övning 7
Följande två polynom är givna\[ U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x \]
\( U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \)
Utveckla polynomet \( \displaystyle U_5(x) \) med hjälp av formeln\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]
Alternativt:
Övning 8
Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna\[ \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 \]
Alternativt:
Övning 9
Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan\[ 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 \]
Alternativt:
Övning 10
Två polynom är givna\[ P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b \]
\( Q(x) = 4 \cdot x - 6 \)
För vilka värden av \( a\, \) och \( b\, \) är \( P(x) = Q(x)\, \)?
Alternativt:
MVG-övningar: 11-12
Övning 11
Följande 2:a gradspolynom är givet:
\[ P(x) = x^2 - 10\,x + 16 \]
a) Utveckla uttrycket \( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) \) till ett polynom. Bestäm \( a\, \) och \( b\, \) så att \( P(x) = Q(x)\, \). Använd jämförelse av koefficienter.
b) Visa att de värden du får för \( a\, \) och \( b\, \) i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:
\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]
Alternativt:
Övning 12
Visa att 2:a gradspolynomet \( P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 \) kan skrivas som
\[ (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) \]
vilket innebär en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \). Bestäm a, b, c och d genom att:
a) Hitta först polynomet \( P(x)\, \):s rötter \( x_1\, \) och \( x_2\, \) exakt, dvs bibehåll bråkformen.
b) Sätt sedan \( P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \) och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.
Alternativt:
Facit
1a)
\( - 5\,x - 11 \)
Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11.
1b)
\( 11\,x + 1 \)
Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1.
1c)
\( -24\,x^2\,+\,22\,x\,+\,30 \)
Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30.
1d)
\( {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} \)
Inget polynom.
2a)
\( - 12\,x + 2\)
Polynom av grad 1. Koefficienter är -12 och 2.
2b)
\( 8\,x^2 - 2\,x + 2 \)
Polynom av grad 2. Koefficienter: 8, -2 och 2.
2c)
\( -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x \)
Polynom av grad 4. Koefficienter: -16, 8, 27 och -10.
2d)
\( {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} \)
Inget polynom.
3a)
\( P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x \)
3b)
\( \displaystyle -19 \)
3c)
\( \displaystyle x_1 = 0 \)
\( \displaystyle x_2 = -10,5 \)
4a)
\( 2\,x^2 - 2\,x + 5 \)
4b)
\( \displaystyle 17 \)
5a)
Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen
\( y = f\,(x) = 90\,x - 4,9\,x^2 \)
och får
\( f(2,586) = 90 \cdot 2,586 - 4,9 \cdot 2,586\,^2 = 199,97 \)
vilket avrundat till hela meter ger 200 m.
Samma sak görs med den andra tiden 15,781 sekunder\[ f(15,781) = 90 \cdot 15,781 - 4,9 \cdot 15,781\,^2 = 199,99 \]
Även detta ger avrundat 200 m.
5b)
\( \displaystyle 413 \; \rm m \)
6a)
Xmin = 0
Xmax = 20
Xscl = 2
Ymin = 0
Ymax = 420
Yscl = 50
6b)
6c)
18,367 sekunder efter starten.
7)
\( U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x \)
8)
\( 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 \)
9)
Påstående\[ \displaystyle 2(x^2 - 1)^2 + (x + 2)(x^3 - 2) - 2x + x^2 - 1 = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 3 \]
Bevis:
VL = \( 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 = \)
= \( 2\,(x^4 - 2\,x^2 + 1) + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = \)
= \( 2\,x^4 - 4\,x^2 + 2 + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = \)
= \( 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 \)
HL = \( 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 \)
VL = HL \( \Rightarrow \) påståendet är bevisat.
10)
\( a = 2\, \)
\( b = 3\, \)
11a)
\( Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b \)
\( a = 2\, \)
\( b = 8\, \)
11b)
2 och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen:
\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]
Prövning för 2:
VL\[ 2^2 - 10\cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 \]
HL\[ 0 \]
VL \( = \) HL \( \Rightarrow\, \) 2 är en lösning.
Prövning för 8:
VL\[ 8^2 - 10\cdot 8 + 16 = 64 - 80 + 16 = 0 \]
HL\[ 0 \]
VL \( = \) HL \( \Rightarrow\, \) 8 är en lösning.
12a)
\( x_1\, = {1 \over 8} \)
\( x_2\, = -1 \)
12b)
\( k\, = 8 \)
\( a\, = 8 \)
\( b\, = -1 \)
\( c\, = 1 \)
\( d\, = 1 \)
Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
