Skillnad mellan versioner av "3.5 Övningar till Extremvärdesproblem"

Nuvarande version från 21 januari 2017 kl. 22.21

<< Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

E-övningar: 1-5

Övning 1

I figuren till höger rör sig punkten

$\, P \,$ på den räta linje vars ekvation är:

$y = -\,{6 \over 5}\,x + 4$

Vilken position av $\, P \, (x, \, y) \,$ ger maximal area till den skuggade rektangeln?

a) Vad är problemets bivillkor?

b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion av endast en variabel.

c) Bestäm koordinaterna till $\, P \,$ så att rektangelns area blir maximal.

d) Beräkna rektangelns maximala area.

Övning 2

En rektangel har omkretsen

$\, 12 \, {\rm cm} \,$ . Maximera rektangelns area.

a) Formulera problemets bivillkor.

b) Ange problemets målfunktion.

c) Bestäm sidorna $\, x \,$ och $\, y \,$ så att rektangelns area blir maximal.

d) Vad blir rektangelns maximala area?

Övning 3

En rektangels area är

$\, 25 \, {\rm cm}^2 \,$ . Minimera rektangelns omkrets.

a) Formulera problemets bivillkor.

b) Ange problemets målfunktion.

c) Bestäm sidorna $\, x \,$ och $\, y \,$ så att rektangelns omkrets blir minimal.

d) Vad blir rektangelns minimala omkrets?

Övning 4

En rätvinklig triangel är inbunden i en parabel enligt figuren:

Parabeln är definierad genom:

$y \, = \, 6 \, x \, - \, x^2 \qquad {\rm med} \qquad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 6$

Punkten $\, P\,(x,\,y) \,$ rör sig på parabeln.

Vilken position av $\, P \,$ ger triangeln största möjliga arean $\, A \,$ ?

a) Ange problemets bivillkor.

b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion $\, A(x) \,$ .

c) Bestäm koordinaterna till $\, P \,$ så att triangelns area blir maximal.

d) Beräkna triangelns maximala area.

Övning 5

En fårherde vill samla sina får under en sommarnatt vid en mur i ett rektan-

gulärt område som hon/han avgränsar med hjälp av ett rep på $\, 9 \; {\rm m} \,$ (rött)

och pinnar i marken enligt figuren.

Hur ska fårherden välja stängselns mått för att få den största möjliga ytan för

sina får?

a) Formulera problemets målfunktion $\, A(x) \,$ .

b) Ange målfunktionens definitionsmängd.

c) Bestäm $\, x \,$ så att stängselns area blir maximal.

d) Beräkna stängselns maximala area.

e) Har problemet ett bivillkor? Om ja, ange det.

f) Kan du intuitivt komma på andra geometriska figurer än rektangeln som

skulle kunna maximera stängselns area bättre?

C-övningar: 6-7

Övning 6

Du ska bygga en öppen låda av en kvadratisk kartong på

$\, 10 \times 10 \; {\rm dm} \,$ .

Det gör du genom att skära ut små kvadrater av längden $\, x \,$ från karton-

gens fyra hörn enligt figuren.

Hur ska du välja $\, x \,$ för att få den största möjliga volymen $\, V \,$ för din

öppna låda?

a) Inför en ny beteckning och ange problemets bivillkor, se Lösning 5 e).

b) Ställ upp problemets målfunktion $\, V(x) \,$ .

c) Ange målfunktionens definitionsmängd.

d) Bestäm $\, x \,$ så att lådans volym $\, V(x) \,$ blir maximal.

e) Beräkna lådans maximala volym.

f) Vilka mått har lådan med maximal volym?

Ange dina svar med två decimaler.

Övning 7

SJ har $\, 20\,000 \,$ passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på $\, 200 \,$ kr.

En marknadsundersökning visar att varje höjning av biljettpriset med $\, 1 \,$ kr skulle medföra en förlust av $\, 80 \,$ passagerare per månad.

Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad?

a) Ange problemets bivillkor om:

$\qquad\;\; x \, = \,$ Den planerade prishöjningen i kr.

$\qquad\;\; y \, = \,$ Antalet passagerare per månad efter prishöjningen $\, x \,$ .

b) Ställ upp problemets målfunktion $\, I(x) \,$ för SJ:s intäkt per månad.

c) Bestäm $\, x \,$ så att intäkten $\, I(x) \,$ blir så stor som möjligt.

d) Beräkna den maximala intäkten efter en biljettprishöjning på $\, x \,$ kr.

e) För vilka prishöjningar kommer det inte längre att löna sig att höja biljettpriset?

A-övningar: 8-9

Övning 8

En cylinder är placerad inuti en kon enligt figuren. Kons mått är givna:

$R \, = \, {\rm Radien\;till\;kons\;bascirkel\;} \, = \, 15 \; {\rm cm}$

$H \, = \, {\rm Kons\;höjd\;} \, = \, 30 \; {\rm cm}$

Vilka mått på cylindern maximerar dess volym $\, V \,$ ?

a) Formulera problemets bivillkor. Använd den röda triangeln i figuren.

b) Ställ upp problemets målfunktion $\, V(r) \,$ där $r =$ cylinderns radie.

c) Bestäm cylinderns radie $\, r \,$ och höjd $\, h \,$ så att volymen blir maximal.

d) Beräkna cylinderns maximala volym.

e) Vilket förhållande råder mellan cylinderns radie $\, r \,$ och dess höjd $\, h \,$

när volymen maximeras?

Övning 9

För att producera en cylinderformad konservburk har man en viss mängd

$\, A \,$

plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea $\, = \, A \; {\rm cm}^2 \,$ .

I genomgången, Exempel 3 Konservburk, löstes denna uppgift för $\, A = 500$ .

Här ska du lösa den generellt för en given konstant $\, A \,$ .

Vilka mått på konserven maximerar volymen?

a) Formulera problemets bivillkor.

b) Ställ upp problemets målfunktion.

c) Bestäm cylinderns radie så att burkens volym blir maximal.

d) Bestäm cylinderns höjd när burkens volym maximeras och visa:

För en cylinder med maximal volym gäller för radien

$\, r \,$ och höjden

$\, h \,$ :

$2 \; r \; = \; h$

@@ Rad 2: / Rad 2: @@
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|<-- Förra avsnitt]]}}
+{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 {{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Genomgång]]}}
 {{Selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}}
-{{Not selected tab|[[Detta diagnosprov ingår inte i demon.|<span style="color:red">Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv.</span>]]}}
-<!-- {{Not selected tab|[[Diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv.]]}} -->
-{{Not selected tab|[[Dessa lösningar ingår inte i demon.|<span style="color:red">Lösningar till diagnosprov kap 3</span>]]}}
-<!-- {{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Lösningar till diagnosprov kap 3]]}} -->
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}
+<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-5</span></Big></Big></Big>
-<Big><Big><Big><span style="color:#A4A4A4">E-övningar: 1-5</span></Big></Big></Big>
+== <b>Övning 1</b> ==
 <div class="ovnE">
-== <b><span style="color:#931136">Övning 1</span></b> ==
 <table>
 <tr>
@@ Rad 27: / Rad 22: @@
 Vilken position av <math> \, P \, (x, \, y) \, </math> ger maximal area till den skuggade rektangeln?
+a) &nbsp; Vad är problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#Bivillkor_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">bivillkor</span></strong>]]?
-a) &nbsp; Vad är problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_1_Rektangel_i_parabel|<strong><span style="color:blue">bivillkor</span></strong>]]?
+b) &nbsp; Ställ upp problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#M.C3.A5lfunktion_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">målfunktion</span></strong>]] som en funktion av endast en variabel.
-b) &nbsp; Ställ upp problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_1_Rektangel_i_parabel|<strong><span style="color:blue">målfunktion</span></strong>]] som en funktion av endast en variabel.
 c) &nbsp; Bestäm koordinaterna till <math> \, P \, </math> så att rektangelns area blir maximal.
@@ Rad 43: / Rad 37: @@
+== <b>Övning 2</b> ==
 <div class="ovnE">
-== <b><span style="color:#931136">Övning 2</span></b> ==
 <table>
 <tr>
    <td>En rektangel har omkretsen <math> \, 12 \, {\rm  cm} \, </math>. Maximera rektangelns area.
 a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor.
@@ Rad 59: / Rad 52: @@
 </td>
    <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 352.gif]]
 </td>
 </tr>
@@ Rad 67: / Rad 58: @@
+== <b>Övning 3</b> ==
 <div class="ovnE">
-== <b><span style="color:#931136">Övning 3</span></b> ==
 <table>
 <tr>
    <td>En rektangels area är <math> \, 25 \, {\rm  cm}^2 \, </math>. Minimera rektangelns omkrets.
 a) &nbsp; Formulera problemets bivillkor.
@@ Rad 83: / Rad 73: @@
 </td>
    <td>&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 352.gif]]
 </td>
 </tr>
@@ Rad 91: / Rad 79: @@
+== <b>Övning 4</b> ==
 <div class="ovnE">
-== <b><span style="color:#931136">Övning 4</span></b> ==
 <table>
 <tr>
@@ Rad 104: / Rad 92: @@
 Vilken position av <math> \, P \, </math> ger triangeln största möjliga arean <math> \, A \, </math>?
 a) &nbsp; Ange problemets bivillkor.
@@ Rad 122: / Rad 109: @@
 {{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.5 Svar 4a|Svar 4b|3.5 Svar 4b|Lösning 4b|3.5 Lösning 4b|Svar 4c|3.5 Svar 4c|Lösning 4c|3.5 Lösning 4c|Svar 4d|3.5 Svar 4d|Lösning 4d|3.5 Lösning 4d}}</div>
+== <b>Övning 5</b> ==
 <div class="ovnE">
-== <b><span style="color:#931136">Övning 5</span></b> ==
 <table>
 <tr>
@@ Rad 135: / Rad 123: @@
 sina får?
 a) &nbsp; Formulera problemets målfunktion <math> \, A(x) \, </math>.
@@ Rad 149: / Rad 136: @@
 f) &nbsp; Kan du intuitivt komma på andra geometriska figurer än rektangeln som
-:skulle kunna maximera stängselns area bättre?
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; skulle kunna maximera stängselns area bättre?
 </td>
@@ Rad 166: / Rad 153: @@
+== <b>Övning 6</b> ==
 <div class="ovnC">
-== <b><span style="color:#931136">Övning 6</span></b> ==
 <table>
 <tr>
@@ Rad 204: / Rad 191: @@
+== <b>Övning 7</b> ==
 <div class="ovnC">
-== <b><span style="color:#931136">Övning 7</span></b> ==
 SJ har <math> \, 20\,000 \, </math> passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på <math> \, 200 \, </math> kr.
@@ Rad 212: / Rad 199: @@
 Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad?
-a) &nbsp; Ange problemets bivillkor om:
+a) &nbsp; Ange problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#Bivillkor_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">bivillkor</span></strong>]] om<span style="color:black">:</span>
-:::<math> x \, = \, {\rm Den\;planerade\;prishöjningen\;i\;kr.} </math>
+<math> \qquad\;\; x \, = \, </math> Den planerade prishöjningen i kr.
-:::<math> y \, = \, {\rm Antalet\;passagerare\;per\;månad\;efter\;en\;sådan\;prishöjning.} </math>
+<math> \qquad\;\; y \, = \,  </math> Antalet passagerare per månad efter prishöjningen <math> \, x \, </math>.
-b) &nbsp; Ställ upp problemets målfunktionen <math> \, I(x) \, </math> för SJ:s intäkt per månad.
+b) &nbsp; Ställ upp problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#M.C3.A5lfunktion_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">målfunktion</span></strong>]] <math> \, I(x) \, </math> för SJ:s intäkt per månad.
 c) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att intäkten <math> \, I(x) \, </math> blir så stor som möjligt.
@@ Rad 233: / Rad 220: @@
+== <b>Övning 8</b> ==
 <div class="ovnA">
-== <b><span style="color:#931136">Övning 8</span></b> ==
 <table>
 <tr>
@@ Rad 264: / Rad 251: @@
+== <b>Övning 9</b> ==
 <div class="ovnA">
-== <b><span style="color:#931136">Övning 9</span></b> ==
 <table>
 <tr>
@@ Rad 272: / Rad 259: @@
 plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea <math> \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, </math>.
-I teoridelen, [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_3_Konservburk|<strong><span style="color:blue">Exempel 3 Konservburk</span></strong>]], löstes denna uppgift med <math>A=500</math>.
+I genomgången, [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_3_Konservburk|<strong><span style="color:blue">Exempel 3 Konservburk</span></strong>]], löstes denna uppgift för <math> \, A = 500 </math>.
-Här ska den lösas generellt för en given konstant <math> \, A \, </math>.
+Här ska du lösa den generellt för en given konstant <math> \, A \, </math>.
 Vilka mått på konserven maximerar volymen?
@@ Rad 305: / Rad 292: @@
-[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Skillnad mellan versioner av "3.5 Övningar till Extremvärdesproblem"

Nuvarande version från 21 januari 2017 kl. 22.21

Övning 1

Övning 2

Övning 3

Övning 4

Övning 5

Övning 6

Övning 7

Övning 8

Övning 9

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 1b

Matematik 3c

Sök