Skillnad mellan versioner av "3.5 Övningar till Extremvärdesproblem"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (24 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|< | + | {{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner| << Förra avsnitt]]}} |
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Genomgång]]}} | {{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Genomgång]]}} | ||
{{Selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}} | {{Selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}} | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| + | <Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-5</span></Big></Big></Big> | ||
| − | |||
| − | + | == <b>Övning 1</b> == | |
| − | == Övning 1 == | + | <div class="ovnE"> |
| − | <div class=" | + | |
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 27: | Rad 22: | ||
Vilken position av <math> \, P \, (x, \, y) \, </math> ger maximal area till den skuggade rektangeln? | Vilken position av <math> \, P \, (x, \, y) \, </math> ger maximal area till den skuggade rektangeln? | ||
| + | a) Vad är problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#Bivillkor_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">bivillkor</span></strong>]]? | ||
| − | + | b) Ställ upp problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#M.C3.A5lfunktion_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">målfunktion</span></strong>]] som en funktion av endast en variabel. | |
| − | + | ||
| − | b) Ställ upp problemets [[3.5_Extremvärdesproblem# | + | |
c) Bestäm koordinaterna till <math> \, P \, </math> så att rektangelns area blir maximal. | c) Bestäm koordinaterna till <math> \, P \, </math> så att rektangelns area blir maximal. | ||
| Rad 40: | Rad 34: | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.5 Svar 1a|Svar 1b|3.5 Svar 1b|Lösning 1b|3.5 Lösning 1b|Svar 1c|3.5 Svar 1c|Lösning 1c|3.5 Lösning 1c|Svar 1d|3.5 Svar 1d|Lösning 1d|3.5 Lösning 1d}}</div> | |
| − | == Övning 2 == | + | |
| − | <div class=" | + | == <b>Övning 2</b> == |
| + | <div class="ovnE"> | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
<td>En rektangel har omkretsen <math> \, 12 \, {\rm cm} \, </math>. Maximera rektangelns area. | <td>En rektangel har omkretsen <math> \, 12 \, {\rm cm} \, </math>. Maximera rektangelns area. | ||
| − | |||
a) Formulera problemets bivillkor. | a) Formulera problemets bivillkor. | ||
| Rad 58: | Rad 52: | ||
</td> | </td> | ||
<td> [[Image: Ovn 352.gif]] | <td> [[Image: Ovn 352.gif]] | ||
| − | |||
| − | |||
</td> | </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.5 Svar 2a|Lösning 2a|3.5 Lösning 2a|Svar 2b|3.5 Svar 2b|Lösning 2b|3.5 Lösning 2b|Svar 2c|3.5 Svar 2c|Lösning 2c|3.5 Lösning 2c|Svar 2d|3.5 Svar 2d}}</div> | |
| − | == Övning 3 == | + | |
| − | <div class=" | + | == <b>Övning 3</b> == |
| + | <div class="ovnE"> | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
<td>En rektangels area är <math> \, 25 \, {\rm cm}^2 \, </math>. Minimera rektangelns omkrets. | <td>En rektangels area är <math> \, 25 \, {\rm cm}^2 \, </math>. Minimera rektangelns omkrets. | ||
| − | |||
a) Formulera problemets bivillkor. | a) Formulera problemets bivillkor. | ||
| Rad 81: | Rad 73: | ||
</td> | </td> | ||
<td> [[Image: Ovn 352.gif]] | <td> [[Image: Ovn 352.gif]] | ||
| − | |||
| − | |||
</td> | </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 3a|3.5 Svar 3a|Lösning 3a|3.5 Lösning 3a|Svar 3b|3.5 Svar 3b|Lösning 3b|3.5 Lösning 3b|Svar 3c|3.5 Svar 3c|Lösning 3c|3.5 Lösning 3c|Svar 3d|3.5 Svar 3d}}</div> | |
| − | == Övning 4 == | + | |
| − | <div class=" | + | == <b>Övning 4</b> == |
| + | <div class="ovnE"> | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 101: | Rad 92: | ||
Vilken position av <math> \, P \, </math> ger triangeln största möjliga arean <math> \, A \, </math>? | Vilken position av <math> \, P \, </math> ger triangeln största möjliga arean <math> \, A \, </math>? | ||
| − | |||
a) Ange problemets bivillkor. | a) Ange problemets bivillkor. | ||
| Rad 117: | Rad 107: | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.5 Svar 4a|Svar 4b|3.5 Svar 4b|Lösning 4b|3.5 Lösning 4b|Svar 4c|3.5 Svar 4c|Lösning 4c|3.5 Lösning 4c|Svar 4d|3.5 Svar 4d|Lösning 4d|3.5 Lösning 4d}}</div> | |
| − | == Övning 5 == | + | |
| − | <div class=" | + | == <b>Övning 5</b> == |
| + | <div class="ovnE"> | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 132: | Rad 123: | ||
sina får? | sina får? | ||
| − | |||
a) Formulera problemets målfunktion <math> \, A(x) \, </math>. | a) Formulera problemets målfunktion <math> \, A(x) \, </math>. | ||
| Rad 146: | Rad 136: | ||
f) Kan du intuitivt komma på andra geometriska figurer än rektangeln som | f) Kan du intuitivt komma på andra geometriska figurer än rektangeln som | ||
| − | + | skulle kunna maximera stängselns area bättre? | |
</td> | </td> | ||
| Rad 155: | Rad 145: | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 5a|3.5 Svar 5a|Lösning 5a|3.5 Lösning 5a|Svar 5b|3.5 Svar 5b|Svar 5c|3.5 Svar 5c|Lösning 5c|3.5 Lösning 5c|Svar 5d|3.5 Svar 5d|Lösning 5d|3.5 Lösning 5d|Svar 5e|3.5 Svar 5e|Lösning 5e|3.5 Lösning 5e|Svar 5f|3.5 Svar 5f}}</div> | |
| − | |||
| − | == Övning 6 == | + | <Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 6-7</span></Big></Big></Big> |
| − | <div class=" | + | |
| + | |||
| + | == <b>Övning 6</b> == | ||
| + | <div class="ovnC"> | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 174: | Rad 166: | ||
öppna låda? | öppna låda? | ||
| − | |||
a) Inför en ny beteckning och ange problemets bivillkor, se [[3.5_Lösning_5e|<strong><span style="color:blue">Lösning 5 e)</span></strong>]]. | a) Inför en ny beteckning och ange problemets bivillkor, se [[3.5_Lösning_5e|<strong><span style="color:blue">Lösning 5 e)</span></strong>]]. | ||
| Rad 197: | Rad 188: | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 6a|3.5 Svar 6a|Lösning 6a|3.5 Lösning 6a|Svar 6b|3.5 Svar 6b|Lösning 6b|3.5 Lösning 6b|Svar 6c|3.5 Svar 6c|Lösning 6c|3.5 Lösning 6c|Svar 6d|3.5 Svar 6d|Lösning 6d|3.5 Lösning 6d|Svar 6e|3.5 Svar 6e|Lösning 6e|3.5 Lösning 6e|Svar 6f|3.5 Svar 6f|Lösning 6f|3.5 Lösning 6f}}</div> | |
| − | == Övning 7 == | + | |
| − | <div class=" | + | == <b>Övning 7</b> == |
| + | <div class="ovnC"> | ||
SJ har <math> \, 20\,000 \, </math> passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på <math> \, 200 \, </math> kr. | SJ har <math> \, 20\,000 \, </math> passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på <math> \, 200 \, </math> kr. | ||
| Rad 207: | Rad 199: | ||
Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad? | Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad? | ||
| + | a) Ange problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#Bivillkor_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">bivillkor</span></strong>]] om<span style="color:black">:</span> | ||
| − | + | <math> \qquad\;\; x \, = \, </math> Den planerade prishöjningen i kr. | |
| − | + | <math> \qquad\;\; y \, = \, </math> Antalet passagerare per månad efter prishöjningen <math> \, x \, </math>. | |
| − | + | b) Ställ upp problemets [[3.5_Extremvärdesproblem#M.C3.A5lfunktion_f.C3.B6r_ett_extremv.C3.A4rdesproblem|<strong><span style="color:blue">målfunktion</span></strong>]] <math> \, I(x) \, </math> för SJ:s intäkt per månad. | |
| − | + | ||
| − | b) Ställ upp problemets | + | |
c) Bestäm <math> \, x \, </math> så att intäkten <math> \, I(x) \, </math> blir så stor som möjligt. | c) Bestäm <math> \, x \, </math> så att intäkten <math> \, I(x) \, </math> blir så stor som möjligt. | ||
| Rad 221: | Rad 212: | ||
e) För vilka prishöjningar kommer det inte längre att löna sig att höja biljettpriset? | e) För vilka prishöjningar kommer det inte längre att löna sig att höja biljettpriset? | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.5 Svar 7a|Lösning 7a|3.5 Lösning 7a|Svar 7b|3.5 Svar 7b|Lösning 7b|3.5 Lösning 7b|Svar 7c|3.5 Svar 7c|Lösning 7c|3.5 Lösning 7c|Svar 7d|3.5 Svar 7d|Lösning 7d|3.5 Lösning 7d|Svar 7e|3.5 Svar 7e|Lösning 7e|3.5 Lösning 7e}}</div> | |
| − | |||
| − | == Övning 8 == | + | <Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 8-9</span></Big></Big></Big> |
| − | <div class=" | + | |
| + | |||
| + | == <b>Övning 8</b> == | ||
| + | <div class="ovnA"> | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 238: | Rad 231: | ||
Vilka mått på cylindern maximerar dess volym <math> \, V \, </math>? | Vilka mått på cylindern maximerar dess volym <math> \, V \, </math>? | ||
| − | |||
a) Formulera problemets bivillkor. Använd den röda triangeln i figuren. | a) Formulera problemets bivillkor. Använd den röda triangeln i figuren. | ||
| Rad 256: | Rad 248: | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.5 Svar 8a|Lösning 8a|3.5 Lösning 8a|Svar 8b|3.5 Svar 8b|Lösning 8b|3.5 Lösning 8b|Svar 8c|3.5 Svar 8c|Lösning 8c|3.5 Lösning 8c|Svar 8d|3.5 Svar 8d|Lösning 8d|3.5 Lösning 8d|Svar 8e|3.5 Svar 8e|Lösning 8e|3.5 Lösning 8e}}</div> | |
| − | == Övning 9 == | + | |
| − | <div class=" | + | == <b>Övning 9</b> == |
| + | <div class="ovnA"> | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 266: | Rad 259: | ||
plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea <math> \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, </math>. | plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea <math> \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, </math>. | ||
| − | I | + | I genomgången, [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_3_Konservburk|<strong><span style="color:blue">Exempel 3 Konservburk</span></strong>]], löstes denna uppgift för <math> \, A = 500 </math>. |
| − | Här ska den | + | Här ska du lösa den generellt för en given konstant <math> \, A \, </math>. |
Vilka mått på konserven maximerar volymen? | Vilka mått på konserven maximerar volymen? | ||
| − | |||
a) Formulera problemets bivillkor. | a) Formulera problemets bivillkor. | ||
| Rad 291: | Rad 283: | ||
:::::::::<math> 2 \; r \; = \; h </math> | :::::::::<math> 2 \; r \; = \; h </math> | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 9a|3.5 Svar 9a|Lösning 9a|3.5 Lösning 9a|Svar 9b|3.5 Svar 9b|Lösning 9b|3.5 Lösning 9b|Svar 9c|3.5 Svar 9c|Lösning 9c|3.5 Lösning 9c|Svar 9d|3.5 Svar 9d|Lösning 9d|3.5 Lösning 9d}}</div> | |
| Rad 300: | Rad 292: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011- | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 21 januari 2017 kl. 21.21
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar |
E-övningar: 1-5
Övning 1
I figuren till höger rör sig punkten \( \, P \, \) på den räta linje vars ekvation är:
Vilken position av \( \, P \, (x, \, y) \, \) ger maximal area till den skuggade rektangeln? a) Vad är problemets bivillkor? b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion av endast en variabel. c) Bestäm koordinaterna till \( \, P \, \) så att rektangelns area blir maximal. d) Beräkna rektangelns maximala area. |
|
Hämtar...
Övning 2
| En rektangel har omkretsen \( \, 12 \, {\rm cm} \, \). Maximera rektangelns area.
a) Formulera problemets bivillkor. b) Ange problemets målfunktion. c) Bestäm sidorna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) så att rektangelns area blir maximal. d) Vad blir rektangelns maximala area? |
|
Övning 3
| En rektangels area är \( \, 25 \, {\rm cm}^2 \, \). Minimera rektangelns omkrets.
a) Formulera problemets bivillkor. b) Ange problemets målfunktion. c) Bestäm sidorna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) så att rektangelns omkrets blir minimal. d) Vad blir rektangelns minimala omkrets? |
|
Övning 4
| En rätvinklig triangel är inbunden i en parabel enligt figuren:
Parabeln är definierad genom:
Punkten \( \, P\,(x,\,y) \, \) rör sig på parabeln. Vilken position av \( \, P \, \) ger triangeln största möjliga arean \( \, A \, \)? a) Ange problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion \( \, A(x) \, \). c) Bestäm koordinaterna till \( \, P \, \) så att triangelns area blir maximal. d) Beräkna triangelns maximala area. |
|
Övning 5
| En fårherde vill samla sina får under en sommarnatt vid en mur i ett rektan-
gulärt område som hon/han avgränsar med hjälp av ett rep på \( \, 9 \; {\rm m} \, \) (rött) och pinnar i marken enligt figuren. Hur ska fårherden välja stängselns mått för att få den största möjliga ytan för sina får? a) Formulera problemets målfunktion \( \, A(x) \, \). b) Ange målfunktionens definitionsmängd. c) Bestäm \( \, x \, \) så att stängselns area blir maximal. d) Beräkna stängselns maximala area. e) Har problemet ett bivillkor? Om ja, ange det. f) Kan du intuitivt komma på andra geometriska figurer än rektangeln som skulle kunna maximera stängselns area bättre? |
|
C-övningar: 6-7
Övning 6
| Du ska bygga en öppen låda av en kvadratisk kartong på \( \, 10 \times 10 \; {\rm dm} \, \).
Det gör du genom att skära ut små kvadrater av längden \( \, x \, \) från karton- gens fyra hörn enligt figuren. Hur ska du välja \( \, x \, \) för att få den största möjliga volymen \( \, V \, \) för din öppna låda? a) Inför en ny beteckning och ange problemets bivillkor, se Lösning 5 e). b) Ställ upp problemets målfunktion \( \, V(x) \, \). c) Ange målfunktionens definitionsmängd. d) Bestäm \( \, x \, \) så att lådans volym \( \, V(x) \, \) blir maximal. e) Beräkna lådans maximala volym. f) Vilka mått har lådan med maximal volym? Ange dina svar med två decimaler. |
|
Övning 7
SJ har \( \, 20\,000 \, \) passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på \( \, 200 \, \) kr.
En marknadsundersökning visar att varje höjning av biljettpriset med \( \, 1 \, \) kr skulle medföra en förlust av \( \, 80 \, \) passagerare per månad.
Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad?
a) Ange problemets bivillkor om:
\( \qquad\;\; x \, = \, \) Den planerade prishöjningen i kr.
\( \qquad\;\; y \, = \, \) Antalet passagerare per månad efter prishöjningen \( \, x \, \).
b) Ställ upp problemets målfunktion \( \, I(x) \, \) för SJ:s intäkt per månad.
c) Bestäm \( \, x \, \) så att intäkten \( \, I(x) \, \) blir så stor som möjligt.
d) Beräkna den maximala intäkten efter en biljettprishöjning på \( \, x \, \) kr.
e) För vilka prishöjningar kommer det inte längre att löna sig att höja biljettpriset?
A-övningar: 8-9
Övning 8
En cylinder är placerad inuti en kon enligt figuren. Kons mått är givna:
Vilka mått på cylindern maximerar dess volym \( \, V \, \)? a) Formulera problemets bivillkor. Använd den röda triangeln i figuren. b) Ställ upp problemets målfunktion \( \, V(r) \, \) där \( r = \) cylinderns radie. c) Bestäm cylinderns radie \( \, r \, \) och höjd \( \, h \, \) så att volymen blir maximal. d) Beräkna cylinderns maximala volym. e) Vilket förhållande råder mellan cylinderns radie \( \, r \, \) och dess höjd \( \, h \, \)
|
|
Övning 9
| För att producera en cylinderformad konservburk har man en viss mängd \( \, A \, \)
plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea \( \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, \). I genomgången, Exempel 3 Konservburk, löstes denna uppgift för \( \, A = 500 \). Här ska du lösa den generellt för en given konstant \( \, A \, \). Vilka mått på konserven maximerar volymen? a) Formulera problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion. c) Bestäm cylinderns radie så att burkens volym blir maximal. d) Bestäm cylinderns höjd när burkens volym maximeras och visa:
|
|
- \[ 2 \; r \; = \; h \]
Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
