Skillnad mellan versioner av "1.1 Övningar till Polynom"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (Facit)
m
Rad 192: Rad 192:
  
 
= Facit =
 
= Facit =
 
  
 
== 1a) ==
 
== 1a) ==
Rad 198: Rad 197:
  
 
Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11.
 
Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11.
 
  
 
== 1b) ==
 
== 1b) ==
Rad 204: Rad 202:
  
 
Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1.
 
Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1.
 
  
 
== 1c) ==
 
== 1c) ==
Rad 211: Rad 208:
 
Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30.
 
Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30.
  
1d) <math> {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} </math>
+
== 1d) ==
 +
<math> {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} </math>
  
:Inget polynom.
+
Inget polynom.
  
2a) <math> - 12\,x + 2</math>
+
== 2a) ==
 +
<math> - 12\,x + 2</math>
  
:Polynom av grad 1. Koefficienter är -12 och 2.
+
Polynom av grad 1. Koefficienter är -12 och 2.
  
2b) <math> 8\,x^2 - 2\,x + 2 </math>
+
== 2b) ==
 +
<math> 8\,x^2 - 2\,x + 2 </math>
  
:Polynom av grad 2. Koefficienter: 8, -2 och 2.
+
Polynom av grad 2. Koefficienter: 8, -2 och 2.
  
2c) <math> -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x </math>
+
== 2c) ==
 +
<math> -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x </math>
  
:Polynom av grad 4. Koefficienter: -16, 8, 27 och -10.
+
Polynom av grad 4. Koefficienter: -16, 8, 27 och -10.
  
2d) <math> {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} </math>
+
== 2d) ==
 +
<math> {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} </math>
  
:Inget polynom.
+
Inget polynom.
  
3a) <math> P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x </math>
+
== 3a) ==
 +
<math> P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x </math>
  
3b) <math> \displaystyle -19 </math>
+
== 3b) ==
 +
<math> \displaystyle -19 </math>
  
3c) <math> \displaystyle x_1 = 0 </math>
+
== 3c) ==
 +
<math> \displaystyle x_1 = 0 </math>
  
:<math> \displaystyle x_2 = -10,5 </math>
+
<math> \displaystyle x_2 = -10,5 </math>
  
4a) <math> 2\,x^2 - 2\,x + 5 </math>
+
== 4a) ==
 +
<math> 2\,x^2 - 2\,x + 5 </math>
  
4b) <math> \displaystyle 17 </math>
+
== 4b) ==
 +
<math> \displaystyle 17 </math>
  
5a) Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen
+
== 5a) ==
 +
Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen
  
:<math> y = f\,(x) = 90\,x - 4,9\,x^2 </math>
+
<math> y = f\,(x) = 90\,x - 4,9\,x^2 </math>
  
:och får  
+
och får  
  
:<math> f(2,586) = 90 \cdot 2,586 - 4,9 \cdot 2,586\,^2 = 199,97 </math>
+
<math> f(2,586) = 90 \cdot 2,586 - 4,9 \cdot 2,586\,^2 = 199,97 </math>
  
:vilket avrundat till hela meter ger 200 m.
+
vilket avrundat till hela meter ger 200 m.
  
:Samma sak görs med den andra tiden 15,781 sekunder:
+
Samma sak görs med den andra tiden 15,781 sekunder:
  
:<math> f(15,781) = 90 \cdot 15,781 - 4,9 \cdot 15,781\,^2 = 199,99 </math>
+
<math> f(15,781) = 90 \cdot 15,781 - 4,9 \cdot 15,781\,^2 = 199,99 </math>
  
:Även detta ger avrundat 200 m.
+
Även detta ger avrundat 200 m.
  
5b) <math> \displaystyle 413 \; \rm m </math>
+
== 5b) ==
 +
<math> \displaystyle 413 \; \rm m </math>
  
6a) Xmin = 0
+
== 6a) ==
 +
Xmin = 0
  
:Xmax = 20
+
Xmax = 20
  
:Xscl = 2
+
Xscl = 2
  
:Ymin = 0
+
Ymin = 0
  
:Ymax = 420
+
Ymax = 420
  
:Yscl = 50
+
Yscl = 50
  
6b) [[Image: Uppg_6b_Raket_70.jpg]]
+
== 6b) ==
 +
[[Image: Uppg_6b_Raket_70.jpg]]
  
6c) 18,367 sekunder efter starten.
+
== 6c) ==
 +
18,367 sekunder efter starten.
  
7) <math> U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x </math>
+
== 7) ==
 +
<math> U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x </math>
  
8) <math> 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 </math>
+
== 8) ==
 +
<math> 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 </math>
  
9) Påstående:
+
== 9) ==
 +
Påstående:
  
:<math> \displaystyle 2(x^2 - 1)^2 + (x + 2)(x^3 - 2) - 2x + x^2 - 1 = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 3 </math>  
+
<math> \displaystyle 2(x^2 - 1)^2 + (x + 2)(x^3 - 2) - 2x + x^2 - 1 = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 3 </math>  
  
:Bevis:
+
Bevis:
  
:<big>VL</big> = <math> 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
+
<big>VL</big> = <math> 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
  
:= <math> 2\,(x^4 - 2\,x^2 + 1) + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
+
= <math> 2\,(x^4 - 2\,x^2 + 1) + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
  
:= <math> 2\,x^4 - 4\,x^2 + 2 + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
+
= <math> 2\,x^4 - 4\,x^2 + 2 + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
  
:= <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>
+
= <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>
  
:<big>HL</big> = <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>
+
<big>HL</big> = <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>
  
:<big>VL = HL</big> <math> \Rightarrow </math> påståendet är bevisat.
+
<big>VL = HL</big> <math> \Rightarrow </math> påståendet är bevisat.
  
10) <math> a = 2\, </math>
+
== 10) ==
 +
<math> a = 2\, </math>
  
:<math> b = 3\, </math>
+
<math> b = 3\, </math>
  
11a) <math> Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b </math>
+
== 11a) ==
 +
<math> Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b </math>
  
:<math> a = 2\, </math>
+
<math> a = 2\, </math>
  
:<math> b = 8\, </math>
+
<math> b = 8\, </math>
  
11b) 2 och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen:
+
== 11b) ==
 +
2 och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen:
  
::<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math>
+
:<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math>
  
:Prövning för 2:
+
Prövning för 2:
  
:VL: <math> 2^2 - 10\cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 </math>
+
VL: <math> 2^2 - 10\cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 </math>
  
:HL: <math> 0 </math>
+
HL: <math> 0 </math>
  
:VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 2 är en lösning.
+
VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 2 är en lösning.
  
:Prövning för 8:
+
Prövning för 8:
  
:VL: <math> 8^2 - 10\cdot 8 + 16 = 64 - 80 + 16 = 0 </math>
+
VL: <math> 8^2 - 10\cdot 8 + 16 = 64 - 80 + 16 = 0 </math>
  
:HL: <math> 0 </math>
+
HL: <math> 0 </math>
  
:VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 8 är en lösning.
+
VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 8 är en lösning.
  
12a) <math> x_1\, = {1 \over 8} </math>
+
== 12a) ==
 +
<math> x_1\, = {1 \over 8} </math>
  
:<math> x_2\, = -1 </math>
+
<math> x_2\, = -1 </math>
  
12b) <math> k\, = 8 </math>
+
== 12b) ==
 +
<math> k\, = 8 </math>
  
:<math> a\, = 8 </math>
+
<math> a\, = 8 </math>
  
:<math> b\, = -1 </math>
+
<math> b\, = -1 </math>
  
:<math> c\, = 1 </math>
+
<math> c\, = 1 </math>
  
:<math> d\, = 1 </math>
+
<math> d\, = 1 </math>
  
  
  
 
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
 
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Versionen från 10 oktober 2011 kl. 09.00

       Teori          Övningar      

G-övningar: 1-6

Övning 1

Två polynom är givna\[ P_1(x) = 3\,x - 5 \] och \( P_2(x) = - 8\,x - 6 \). Bilda deras

a) summa
b) differens
c) produkt
d) kvot

Förenkla så mycket som möjligt. Ange varje gång om resultatet är ett polynom. I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.

Alternativt:

Svar 1a | Lösning 1a | Svar 1b | Lösning 1b | Svar 1c | Lösning 1c | Svar 1d | Lösning 1d


Övning 2

Gör samma sak som i övning 1 ovan med polynomen \( P_1(x) = 4\,x^2 - 7\,x + 2 \) och \( P_2(x) = -4\,x^2 - 5\,x \).

Alternativt:

Svar 2a | Lösning 2a | Svar 2b | Lösning 2b | Svar 2c | Lösning 2c | Svar 2d | Lösning 2d


Övning 3

Följande uttryck är givet\[ P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) \]

a) Skriv \( P(x)\, \) som ett polynom.

b) Använd polynomet från a) för att beräkna \( P(-1)\, \).

c) Bestäm alla nollställen till \( P(x)\, \).

Alternativt:

Svar 3a | Lösning 3a | Svar 3b | Lösning 3b | Svar 3c | Lösning 3c

Övning 4

Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:

a) \( \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 \)

b) Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för x = -2.

Alternativt:

Svar 4a | Lösning 4a | Svar 4b | Lösning 4b


Övning 5

En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen\[ y = 90\,x - 4,9\,x^2 \]

där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.

a) Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.

b) Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.

Alternativt:

Svar & lösning 5a | Svar 5b | Lösning 5b


Övning 6

Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:

a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.

b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.

c) När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.

Alternativt:

Svar 6a | Lösning 6a | Svar 6b | Lösning 6b | Svar 6c | Lösning 6c


VG-övningar: 7-10

Övning 7

Följande två polynom är givna\[ U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x \]

\( U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \)

Utveckla polynomet \( \displaystyle U_5(x) \) med hjälp av formeln\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]

Alternativt:

Svar 7 | Lösning 7


Övning 8

Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna\[ \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 \]

Alternativt:

Svar 8 | Lösning 8


Övning 9

Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan\[ 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 \]

Alternativt:

Svar & lösning 9

Övning 10

Två polynom är givna\[ P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b \]

\( Q(x) = 4 \cdot x - 6 \)

För vilka värden av \( a\, \) och \( b\, \) är \( P(x) = Q(x)\, \)?

Alternativt:

Svar 10 | Lösning 10


MVG-övningar: 11-12

Övning 11

Följande 2:a gradspolynom är givet:

\[ P(x) = x^2 - 10\,x + 16 \]

a) Utveckla uttrycket \( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) \) till ett polynom. Bestäm \( a\, \) och \( b\, \) så att \( P(x) = Q(x)\, \). Använd jämförelse av koefficienter.

b) Visa att de värden du får för \( a\, \) och \( b\, \) i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:

\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]

Alternativt:

Svar 11a | Lösning 11a | Svar & lösning 11b


Övning 12

Visa att 2:a gradspolynomet \( P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 \) kan skrivas som

\[ (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) \]

vilket innebär en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \). Bestäm a, b, c och d genom att:

a) Hitta först polynomet \( P(x)\, \):s rötter \( x_1\, \) och \( x_2\, \) exakt, dvs bibehåll bråkformen.

b) Sätt sedan \( P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \) och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.

Alternativt:

Svar 12a | Lösning 12a | Svar 12b | Lösning 12b


Facit

1a)

\( - 5\,x - 11 \)

Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11.

1b)

\( 11\,x + 1 \)

Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1.

1c)

\( -24\,x^2\,+\,22\,x\,+\,30 \)

Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30.

1d)

\( {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} \)

Inget polynom.

2a)

\( - 12\,x + 2\)

Polynom av grad 1. Koefficienter är -12 och 2.

2b)

\( 8\,x^2 - 2\,x + 2 \)

Polynom av grad 2. Koefficienter: 8, -2 och 2.

2c)

\( -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x \)

Polynom av grad 4. Koefficienter: -16, 8, 27 och -10.

2d)

\( {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} \)

Inget polynom.

3a)

\( P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x \)

3b)

\( \displaystyle -19 \)

3c)

\( \displaystyle x_1 = 0 \)

\( \displaystyle x_2 = -10,5 \)

4a)

\( 2\,x^2 - 2\,x + 5 \)

4b)

\( \displaystyle 17 \)

5a)

Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen

\( y = f\,(x) = 90\,x - 4,9\,x^2 \)

och får

\( f(2,586) = 90 \cdot 2,586 - 4,9 \cdot 2,586\,^2 = 199,97 \)

vilket avrundat till hela meter ger 200 m.

Samma sak görs med den andra tiden 15,781 sekunder\[ f(15,781) = 90 \cdot 15,781 - 4,9 \cdot 15,781\,^2 = 199,99 \]

Även detta ger avrundat 200 m.

5b)

\( \displaystyle 413 \; \rm m \)

6a)

Xmin = 0

Xmax = 20

Xscl = 2

Ymin = 0

Ymax = 420

Yscl = 50

6b)

Uppg 6b Raket 70.jpg

6c)

18,367 sekunder efter starten.

7)

\( U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x \)

8)

\( 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 \)

9)

Påstående\[ \displaystyle 2(x^2 - 1)^2 + (x + 2)(x^3 - 2) - 2x + x^2 - 1 = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 3 \]

Bevis:

VL = \( 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 = \)

= \( 2\,(x^4 - 2\,x^2 + 1) + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = \)

= \( 2\,x^4 - 4\,x^2 + 2 + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = \)

= \( 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 \)

HL = \( 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 \)

VL = HL \( \Rightarrow \) påståendet är bevisat.

10)

\( a = 2\, \)

\( b = 3\, \)

11a)

\( Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b \)

\( a = 2\, \)

\( b = 8\, \)

11b)

2 och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen:

\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]

Prövning för 2:

VL\[ 2^2 - 10\cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 \]

HL\[ 0 \]

VL \( = \) HL \( \Rightarrow\, \) 2 är en lösning.

Prövning för 8:

VL\[ 8^2 - 10\cdot 8 + 16 = 64 - 80 + 16 = 0 \]

HL\[ 0 \]

VL \( = \) HL \( \Rightarrow\, \) 8 är en lösning.

12a)

\( x_1\, = {1 \over 8} \)

\( x_2\, = -1 \)

12b)

\( k\, = 8 \)

\( a\, = 8 \)

\( b\, = -1 \)

\( c\, = 1 \)

\( d\, = 1 \)


Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.