2.5 Övningar till Deriveringsregler

<< Förra demoavsnitt

Genomgång

Övningar

Fördjupning

Nästa demoavsnitt >>

$\qquad\qquad\qquad\quad$ Anta alltid $\; \quad y \; = \; f(x)\,$

Övning 1

Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:

a) $y = -8\,$

b) $y = 12\,x + 7$

c) $y = 4\,x^2 - 25\,x + 32$

d) $y = x\,$

e) $y = - x\,$

f) $y = x + 6\,$

g) $y = - x + 25\,$

Övning 2

Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:

a) $\displaystyle y = {x \over 2}$

b) $y = 0,2\,x^5 + x$

c) $\displaystyle y = {x^2 \over 2} - {3 \over 4}\,x + 25$

d) $\displaystyle y = {4\,x^2 - 8\,x \over 5}$

e) $\displaystyle y = 15 - {x + 3 \over 2}$

f) $y = (3\,x - 5)^2$

Övning 3

Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:

a) $\displaystyle y = {2 \over x}$

b) $\displaystyle y = -{3 \over x} + \sqrt{5}$

c) $y = 6 - 2\,\sqrt{x}$

d) $\displaystyle y = 7\,x^4 - {25 \over x}$

e) $\displaystyle y = {1 \over x^2}$

f) $\displaystyle y = {1 \over \sqrt{x}}$

Övning 4

Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:

a) $\displaystyle y = {x^2 + 3 \over x}$

b) $\displaystyle y = {x^2\,\sqrt{x}\over 5}$

c) $\displaystyle y = {2 \over 3}\,x\,\sqrt{x} - {1 \over x^2}$

d) Beräkna $\; f\,'(4)\, \;$ om $\displaystyle \; f(x) = x^3 + {\sqrt{x} \over 2} \;$ med 3 decimaler.

e) Beräkna $\; f\,'(1)\, \;$ om $\displaystyle \; f(x) = {x^3 + x^2 + x - 1 \over x}$ .

Övning 5

I avsnittet Introduktion till derivata sysslade vi med följande aktivitet:

Yulia Koltunova tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn följer en bana som beskrivs av funktionen

$y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10\,$

där $y\,$ är Yulias höjd över vattnet (i meter) och $x\,$ är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).

I aktiviteten hade vi grafiskt bestämt ett närmevärde till Yulias hastighet med vilken hon slår i vattnet efter 1,45 sekunder.

a) Ställ upp med deriveringsreglerna derivatan av $f(x)\,$ .

b) Beräkna med hjälp av derivatan från a) med vilken exakt (momentan) hastighet Yulia slår i vattnet?

Svar 5a | Lösning 5a | Svar 5b | Lösning 5b

Övning 6

Följande parabel är given:

$y = x^2 + 5\,x - 8$

a) Vilken lutning har parabeln i punkten $x = 1\,$ ?

b) Ange koordinaterna till parabelns och tangentens beröringspunkt samt ekvationen för tangenten till parabeln i i punkten $x = 1\,$ .

c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem. Markera beröringspunkten.

Svar 6a | Lösning 6a | Svar 6b | Lösning 6b | Lösning 6c

C-övningar: 7-8

Övning 7

Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan

$y = x^2 + 5\,x - 1\,$

i punkten $x = -1\,$ .

Svar 7 | Lösning 7

Övning 8

I en bakteriekultur växer antalet bakterier y enligt följande modell

$y = 60\,x^4 + 3\,250$

där $x\,$ är tiden i timmar.

Efter hur många timmar kommer bakteriernas tillväxthastighet att vara $2\,000$ bakterier per timme?

Svara i hela timmar och hela minuter.

Svar 8 | Lösning 8

A-övningar: 9-10

Övning 9

Tangenten till kurvan:

$y = f(x) = a\,x^2 + b\,x$

har i beröringspunkten $(5, -6)\,$ lutningen $\,4$ .

Bestämma konstanterna $a\,$ och $b\,$ och ange kurvans (specifika) ekvation.

Svar 9 | Lösning 9

Övning 10

Kurvan

$y = 2\,x^2 - 3\,x - 4$

har en tangent som är parallell till den räta linjen $y = x - 4\,$ .

a) Rita kurvan och den räta linjen som är parallel till tangenten i samma koordinatsystem.

b) Bestäm $\,x$ - och $\,y$ -koordinaterna till kurvans och tangentens beröringspunkt.

c) Ställ upp ekvationen för tangenten.

d) Rita tangentens graf i samma koordinatsystem som i a).