2.4 Lösning 6b

Eftersom beröringspunkten ligger på parabeln blir beröringspunktens koordinater:

$$x = 1\,$$

$$y = f(1) = 1^2 + 5 \cdot 1 - 8 = 1 + 5 - 8 = -2$$

Beröringspunktens koordinater är $(1, -2)\,$.

Tangenten är en rät linje vars ekvation i $\,k$-form är:

$$y \, = \, k\,x \, + \, m$$

Tangenten till kurvan    $y = f(x) = x^2 + 5\,x - 8\,$    i    $x = 1$    har samma lutning $\,k$ som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i   $x = 1$   är   $f\,'(1)$ :

$$k \, = \, f\,'(1)$$

Från uppgiftens del a) har vi att $f\,'(1) = 7$. Således:

$$k \, = \, 7$$

Således är   $k = 7\,$   och tangentens ekvation blir:

$$y \, = \, 7\,x \, + \, m$$

För att få fram $m\,$ sätter vi in beröringspunktens koordinater (1, -2) i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger även på tangenten:

$$\begin{array}{rcl} y & = & 7\,x \, + \, m \\ -2 & = & 7 \cdot 1 \, + \, m \\ -2 & = & 7 \, + \, m \\ -2 - 7 & = & m \\ - 9 & = & m \end{array}$$

Tangentens ekvation:

$$y \, = \, 7\,x \, - \, 9$$