2.5 Övningar till Deriveringsregler
| << Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa demoavsnitt \( \pmb{\to} \) |
E-övningar: 1-6
Anta alltid: \( {\color{White} x} \quad y \; = \; f(x)\, \)
Övning 1
Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:
a) \( y = -8\, \)
b) \( y = 12\,x + 7 \)
c) \( y = 4\,x^2 - 25\,x + 32 \)
d) \( y = x\, \)
e) \( y = - x\, \)
f) \( y = x + 6\, \)
g) \( y = - x + 25\, \)
Hämtar...
Övning 2
Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:
a) \( \displaystyle y = {x \over 2} \)
b) \( y = 0,2\,x^5 + x \)
c) \( \displaystyle y = {x^2 \over 2} - {3 \over 4}\,x + 25 \)
d) \( \displaystyle y = {4\,x^2 - 8\,x \over 5} \)
e) \( \displaystyle y = 15 - {x + 3 \over 2} \)
f) \( y = (3\,x - 5)^2 \)
Övning 3
Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:
a) \( \displaystyle y = {2 \over x} \)
b) \( \displaystyle y = -{3 \over x} + \sqrt{5} \)
c) \( y = 6 - 2\,\sqrt{x} \)
d) \( \displaystyle y = 7\,x^4 - {25 \over x} \)
e) \( \displaystyle y = {1 \over x^2} \)
f) \( \displaystyle y = {1 \over \sqrt{x}} \)
Övning 4
Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:
a) \( \displaystyle y = {x^2 + 3 \over x} \)
b) \( \displaystyle y = {x^2\,\sqrt{x}\over 5} \)
c) \( \displaystyle y = {2 \over 3}\,x\,\sqrt{x} - {1 \over x^2} \)
d) Beräkna \( \; f\,'(4)\, {\color{White} x} \) om \( \displaystyle \; f(x) = x^3 + {\sqrt{x} \over 2} \; \) med 3 decimaler.
e) Beräkna \( \; f\,'(1)\, {\color{White} x} \) om \( \displaystyle \; f(x) = {x^3 + x^2 + x - 1 \over x} \).
Övning 5
I avsnittet Introduktion till derivata sysslade vi med följande aktivitet:
Yulia Koltunova tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn följer en bana som beskrivs av funktionen
- \[ y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10\, \]
där \( y\, \) är Yulias höjd över vattnet (i meter) och \( x\, \) är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).
I aktiviteten hade vi grafiskt bestämt ett närmevärde till Yulias hastighet med vilken hon slår i vattnet efter 1,45 sekunder.
a) Ställ upp med deriveringsreglerna derivatan av \( f(x)\, \).
b) Beräkna med hjälp av derivatan från a) med vilken exakt (momentan) hastighet Yulia slår i vattnet?
Övning 6
Följande parabel är given:
- \[ y = x^2 + 5\,x - 8 \]
a) Vilken lutning har parabeln i punkten \( x = 1\, \)?
b) Ange koordinaterna till parabelns och tangentens beröringspunkt samt ekvationen för tangenten till parabeln i i punkten \( x = 1\, \).
c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem. Markera beröringspunkten.
C-övningar: 7-8
Övning 7
Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan
- \[ y = x^2 + 5\,x - 1\, \]
i punkten \( x = -1\, \) .
Övning 8
I en bakteriekultur växer antalet bakterier y enligt följande modell
- \[ y = 60\,x^4 + 3\,250 \]
där \( x\, \) är tiden i timmar.
Efter hur många timmar kommer bakteriernas tillväxthastighet att vara \( 2\,000 \) bakterier per timme?
Svara i hela timmar och hela minuter.
A-övningar: 9-10
Övning 9
Tangenten till kurvan:
- \[ y = f(x) = a\,x^2 + b\,x \]
har i beröringspunkten \( (5, -6)\, \) lutningen \( \,4 \) .
Bestämma konstanterna \( a\, \) och \( b\, \) och ange kurvans (specifika) ekvation.
Övning 10
Kurvan
- \[ y = 2\,x^2 - 3\,x - 4 \]
har en tangent som är parallell till den räta linjen \( y = x - 4\, \).
a) Rita kurvan och den räta linjen som är parallel till tangenten i samma koordinatsystem.
b) Bestäm \(\,x\)- och \(\,y\)-koordinaterna till kurvans och tangentens beröringspunkt.
c) Ställ upp ekvationen för tangenten.
d) Rita tangentens graf i samma koordinatsystem som i a).
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
