1.1 Övningar till Polynom
| Teori | Övningar | Fördjupning | Extrauppgifter |
E-övningar: 1-6
Övning 1
Två polynom är givna\[ P_1(x) = 3\,x - 5 \] och \( P_2(x) = - 8\,x - 6 \). Bilda deras
- a) summa
- b) differens
- c) produkt
- d) kvot
Förenkla så mycket som möjligt. Ange varje gång om resultatet är ett polynom. I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.
Hämtar...Övning 2
Gör samma sak som i övning 1 ovan med polynomen \( P_1(x) = 4\,x^2 - 7\,x + 2 \) och \( P_2(x) = -4\,x^2 - 5\,x \).
Övning 3
Följande uttryck är givet\[ P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) \]
a) Utveckla \( P(x)\, \) till ett polynom.
b) Använd polynomet från a) för att beräkna \( P(-1)\, \).
c) Bestäm alla nollställen till \( P(x)\, \).
Övning 4
Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:
a) \( \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 \)
b) Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för x = -2.
Övning 5
En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen\[ y = 90\,x - 4,9\,x^2 \]
där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.
a) Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.
b) Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.
Övning 6
Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:
a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.
b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.
c) När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.
C-övningar: 7-10
Övning 7
Följande två polynom är givna\[ U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x \]
\( U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \)
Utveckla polynomet \( \displaystyle U_5(x) \) med hjälp av formeln\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]
Övning 8
Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna\[ \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 \]
Övning 9
Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan\[ 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 \]
Övning 10
Två polynom är givna\[ P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b \]
\( Q(x) = 4 \cdot x - 6 \)
För vilka värden av \( a\, \) och \( b\, \) är \( P(x) = Q(x)\, \)?
Övning 11
Följande 2:a gradspolynom är givet:
\[ P(x) = x^2 - 10\,x + 16 \]
a) Utveckla uttrycket \( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) \) till ett polynom. Bestäm \( a\, \) och \( b\, \) så att \( P(x) = Q(x)\, \). Använd jämförelse av koefficienter.
b) Visa att de värden du får för \( a\, \) och \( b\, \) i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:
\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]
Övning 12
Visa att 2:a gradspolynomet \( P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 \) kan skrivas som
\[ (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) \]
vilket innebär en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \). Bestäm a, b, c och d genom att:
a) Hitta först polynomet \( P(x)\, \):s nollställen (rötter) \( x_1\, \) och \( x_2\, \) exakt, dvs bibehåll bråkformen.
b) Sätt sedan \( P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \) och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.
Alternativt:
Facit
1a)
\( - 5\,x - 11 \)
Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11.
1b)
\( 11\,x + 1 \)
Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1.
1c)
\( -24\,x^2\,+\,22\,x\,+\,30 \)
Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30.
1d)
\( {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} \)
Inget polynom.
2a)
\( - 12\,x + 2\)
Polynom av grad 1. Koefficienter är -12 och 2.
2b)
\( 8\,x^2 - 2\,x + 2 \)
Polynom av grad 2. Koefficienter: 8, -2 och 2.
2c)
\( -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x \)
Polynom av grad 4. Koefficienter: -16, 8, 27 och -10.
2d)
\( {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} \)
Inget polynom.
3a)
\( P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x \)
3b)
\( \displaystyle -19 \)
3c)
\( \displaystyle x_1 = 0 \)
\( \displaystyle x_2 = -10,5 \)
4a)
\( 2\,x^2 - 2\,x + 5 \)
4b)
\( \displaystyle 17 \)
5a)
Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen
\( y = f\,(x) = 90\,x - 4,9\,x^2 \)
och får
\( f(2,586) = 90 \cdot 2,586 - 4,9 \cdot 2,586\,^2 = 199,97 \)
vilket avrundat till hela meter ger 200 m.
Samma sak görs med den andra tiden 15,781 sekunder\[ f(15,781) = 90 \cdot 15,781 - 4,9 \cdot 15,781\,^2 = 199,99 \]
Även detta ger avrundat 200 m.
5b)
\( \displaystyle 413 \; \rm m \)
6a)
Xmin = 0
Xmax = 20
Xscl = 2
Ymin = 0
Ymax = 420
Yscl = 50
6b)
6c)
18,367 sekunder efter starten.
7)
\( U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x \)
8)
\( 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 \)
9)
Påstående\[ \displaystyle 2(x^2 - 1)^2 + (x + 2)(x^3 - 2) - 2x + x^2 - 1 = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 3 \]
Bevis:
VL = \( 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 = \)
= \( 2\,(x^4 - 2\,x^2 + 1) + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = \)
= \( 2\,x^4 - 4\,x^2 + 2 + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = \)
= \( 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 \)
HL = \( 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 \)
VL = HL \( \Rightarrow \) påståendet är bevisat.
10)
\( a = 2\, \)
\( b = 3\, \)
11a)
\( Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b \)
\( a = 2\, \)
\( b = 8\, \)
11b)
2 och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen:
\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]
Prövning för 2:
VL\[ 2^2 - 10\cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 \]
HL\[ 0 \]
VL \( = \) HL \( \Rightarrow\, \) 2 är en lösning.
Prövning för 8:
VL\[ 8^2 - 10\cdot 8 + 16 = 64 - 80 + 16 = 0 \]
HL\[ 0 \]
VL \( = \) HL \( \Rightarrow\, \) 8 är en lösning.
12a)
\( x_1\, = {1 \over 8} \)
\( x_2\, = -1 \)
12b)
\( k\, = 8 \)
\( a\, = 8 \)
\( b\, = -1 \)
\( c\, = 1 \)
\( d\, = 1 \)
Copyright © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
