1.1 Övningar till Polynom
| Teori | Övningar |
G-övningar: 1-6
Övning 1
Två polynom är givna\[ P_1(x) = 3\,x - 5 \] och \( P_2(x) = - 8\,x - 6 \). Bilda deras
- a) summa
- b) differens
- c) produkt
- d) kvot
Förenkla så mycket som möjligt. Ange varje gång om resultatet är ett polynom. I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.
Hämtar...Övning 2
Gör samma sak som i övning 1 ovan med polynomen \( P_1(x) = 4\,x^2 - 7\,x + 2 \) och \( P_2(x) = -4\,x^2 - 5\,x \).
Övning 3
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt och skriv om det till ett polynom:
a) \( \displaystyle P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) \)
b) Använd svaret i a) för att beräkna \(\displaystyle P(-1)\).
c) Bestäm alla nollställen till det polynom du fick i a).
Övning 4
Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:
a) \( \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 \)
b) Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för x = -2.
Övning 5
En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen\[ y = 90\,x - 4,9\,x^2 \]
där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.
a) Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.
b) Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.
Övning 6
Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:
a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.
b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.
c) När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.
VG-övningar: 7-9
Övning 7
Följande två polynom är givna\[ U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x \]
\( U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \)
Utveckla polynomet \( \displaystyle U_5(x) \) med hjälp av formeln\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]
Övning 8
Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna\[ \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 \]
Övning 9
Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan\[ 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 \]
MVG-övningar: 10-11
Övning 10
Två polynom \[ P(x)=a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad . . . \quad + a_1 \cdot x + a_0\] och \[Q(x)=b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad . . . \quad + b_1 \cdot x + b_0\] är lika med varandra om deras koefficienter överensstämmer: \[a_0 = b_0, a_1 = b_1, \ldots, a_n = b_n.\]
Följande två polynom \(P(x) = 0 + 2a + a \cdot x + b\) och \(Q(x) = 2x + 1\!\,\) är givna. För vilka värden av \(a\) och \(b\) är de två polymen lika med varandra?
Det som jämförs är:
- \(a \cdot x = 2x\) (Jämförelse av koefficienterna till \(x^1\))
- \(2a + b = 1\!\,\) (Jämförelse av koefficienterna till \(x^0\))
Lösning\[a = 2\] och \(b=-3\)
Övning 11
Anta att följande uttryck är givet\[ { 87+13 \over (x+9)/5 } \]
a) Hitta ett positivt heltal för x så att uttryckets värde blir störst.
b) Beräkna detta maximala värde.
