Skillnad mellan versioner av "1.3 Övningar till Polynom i faktorform"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (Övning 12)
m (Övning 12)
Rad 139: Rad 139:
  
 
== Övning 12 ==
 
== Övning 12 ==
<div class="ovning">
+
Anta att två nollställen till polynomet:
Visa att 2:a gradspolynomet <math> P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 </math> kan skrivas som
+
  
:<math> (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) </math>
+
:<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 </math>
  
vilket innebär en faktorisering av polynomet <math> P(x)\, </math>. Bestäm a, b, c och d genom att:
+
har samma absolutbelopp, men olika förtecken.
  
a) Hitta först polynomet <math> P(x)\, </math>:s rötter <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> exakt, dvs bibehåll bråkformen.
+
a) Bestäm dessa två nollställen med hjälp av jämförelse av koefficienter.
  
b) Sätt sedan <math> P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)  </math> och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.
+
b) Faktorisera P(x) fullständigt.
  
 
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.3 Svar 12a|Lösning 12a|1.3 Lösning 12a|Svar 12b|1.3 Svar 12b|Lösning 12b|1.3 Lösning 12b}}
 
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.3 Svar 12a|Lösning 12a|1.3 Lösning 12a|Svar 12b|1.3 Svar 12b|Lösning 12b|1.3 Lösning 12b}}

Versionen från 8 januari 2011 kl. 12.17

       Teori          Övningar      


G-övningar: 1-6

Övning 1

Om

\[ x^3 - 5\,x^2 + 12\,x - 6 = (x-2) \cdot {\rm (ett\ polynom)} \]

vad är då graden till det okända polynomet?

Övning 2

Vi har:

\[ 4\,x^2 + 16\,x - 8 = (x+3) \cdot {\rm (ett\ polynom)} \]

a) Vad är graden till det okända polynomet?

b) Vad är koefficienten till x-termen i det okända polynomet?

Övning 3

Ange ett polynom i faktorform vars nollställen är:

a) 2 och 6

b) -2, och -6

c) 1, -5 och 4

Övning 4

Ange nollställen till följande polynom:

a) \( (x-2) \cdot (x+1) \)

b) \( (3\,x-1) \cdot (2\,x+1) \)

Övning 5

Grafen till en polynomfunktion ser ut så här:

13Övn5 2agradspol.jpg

a) Ange några exempel på polynom i faktorform vars nollställen är identiska med kurvans nollställen.

b) Ange det polynom i faktorform vars graf är kurvan ovan.

Övning 6

Faktorisera följande polynom och kontrollera dina svar genom utveckling av de erhållna resultaten:

a) \( x^2 - 6\,x + 8 \)

b) \( 3\,x^2 + 3\,x - 6 \)

c) \( 4\,x^2 - 36 \)

VG-övningar: 7-10

Övning 7

Grafen till en polynomfunktion ser ut så här:

13Övn7 3egradspol.jpg

Ange det polynom i faktorform vars graf är kurvan ovan.

Övning 8

Faktorisera följande polynom och kontrollera dina svar genom utveckling av de erhållna resultaten. Ange slutresultaten med heltalskoefficienter.

a) \( 9\,x^2 - 6\,x + 1 \)

b) \( x^2 + 4\,x - 4 \)

c) \( 49\,z^2 + 14\,z + 1 \)

Övning 9

Ange den fullständiga faktoriseringen av polynomet

\[ x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 \]

om en av faktorerna är \((x-4)\).

Övning 10

Vi har följande delfaktorisering av ett 3:e gradspolynom:

\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot {\rm (ett\ polynom)} \]

a) Bestäm det okända polynomet som en summa av termer.

b) Ange 3:e gradspolynomets fullständiga faktorisering. Svara med två decimaler.

MVG-övningar: 11-12

Övning 11

Följande 4:e gradspolynom är givet och har dubbelroten x = -1:

\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 \]

a) Ange med hjälp av dubbelroten en delfaktorisering av P(x).

b) Faktorisera P(x) fullständigt.

Övning 12

Anta att två nollställen till polynomet:

\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 \]

har samma absolutbelopp, men olika förtecken.

a) Bestäm dessa två nollställen med hjälp av jämförelse av koefficienter.

b) Faktorisera P(x) fullständigt.

</div>