1.3 Lösning 10b

Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera ett 3:e gradspolynom som var delvis faktoriserat:

$$x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x)$$

I 10 a) hade vi bestämt $Q(x)\,$ till:

$$Q(x) = x^2 - 13\,x + 2$$

För att fullständigt faktorisera 3:e gradspolynomet måste även $Q(x)\,$ faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen $$x^2 - 13\,x + 2 = 0$$

Vietas formler ger:

$$\begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}$$

Det är inte så enkelt att få lösningarna $x_1\,$ och $x_2\,$ ur dessa relationer. Därför använder vi p-q formeln här:

$$\begin{align} x^2 - 13 x + 2 & = 0 \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{42,25 - 2} \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{40,25} \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm 6,34 \\ x_1 & = 12,84 \\ x_2 & = 0,16 \\ \end{align}$$

I efterhand kan vi verifiera Vietas formler, se teoridelen: Nackdelen med Vietas formler.

Således kan $Q(x)\,$ faktoriseras så här:

$$Q(x)= x^2 - 13\,x + 2 = (x - 12,84) \cdot (x - 0,16)$$

Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 3:e gradspolynomet i början:

$$x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x)$$

får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet:

$$x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot (x-12,84)\,\cdot\,(x-0,16)$$