1.3 Lösning 11a

Dubbelroten \( x = -1\,\) innebär följande delfaktorisering av \( P(x)\, \)\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) \]

där \( Q(x)\, \) är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter a, b och c vi får bestämma\[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]

Detta ger följande delfaktorisering av \( P(x)\, \)\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) \]

Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma koefficienterna a, b och c. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna\[ \begin{align} & x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x^2 + 2\,x + 1) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) = \\ & = a\,x^4 + b\,x^3 + c\,x^2 + 2\,a\,x^3 + 2\,b\,x^2 + 2\,c\,x + a\,x^2 + b\,x + c = \\ & = a\,x^4 + (b+2\,a)\,x^3 + (c+2\,b+a)\,x^2 + (2\,c+b)\,x + c \end{align}\]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger\[ \begin{align} a & = 1 \\ b + 2\,a & = -7 \\ c + 2\,b + a & = 3 \\ 2\,c +b & = 31 \\ c & = 20 \end{align}\]

Genom insättning av \( a = 1\, \) i den andra ekvationen får vi\[ \begin{align} b + 2\cdot 1 & = -7 \\ b + 2 & = -7 \\ b & = -9 \end{align}\]

Genom insättning av \( b = -9\, \) i den tredje får vi\[ \begin{align} c + 2\cdot(-9) + 1 & = 3 \\ c - 18 + 1 & = 3 \\ c - 17 & = 3 \\ c & = 20 \end{align}\]

Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat\[ \begin{align} 2\cdot 20 + (-9) & = 31 \\ 40 - 9 & = 31 \end{align}\]

Och det gör även den femte ekvationen\[ c = 20\, \]

Därmed har vi bestämt polynomet \( Q(x)\, \)\[ Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 \]

Delfaktoriseringen av \( P(x)\, \) blir då\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) \]