Skillnad mellan versioner av "1.1 Övningar till Polynom"

Två polynom är givna\[ P_1(x) = 3\,x - 5 \] och \( P_2(x) = - 8\,x - 6 \). Bilda deras

a) summa

b) differens

c) produkt

d) kvot

Förenkla så mycket som möjligt. Ange varje gång om resultatet är ett polynom. I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.

Gör samma sak som i övning 1 ovan med polynomen \( P_1(x) = 4\,x^2 - 7\,x + 2 \) och \( P_2(x) = -4\,x^2 - 5\,x \).

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt och skriv om det till ett polynom:

a) \( \displaystyle P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) \)

b) Använd svaret i a) för att beräkna \(\displaystyle P(-1)\).

c) Bestäm alla nollställen till det polynom du fick i a).

Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:

a) \( \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 \)

b) Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för x = -2.

En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen\[ y = 90\,x - 4,9\,x^2 \]

där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.

a) Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.

b) Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.

Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:

a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.

b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.

c) När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.

Följande två polynom är givna\[ U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x \]

\( U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \)

Utveckla polynomet \( \displaystyle U_5(x) \) med hjälp av formeln\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]

Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna\[ \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 \]

Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan\[ 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 \]

Två polynom \[ P(x)=a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad . . . \quad + a_1 \cdot x + a_0\] und \[Q(x)=b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad . . . \quad + b_1 \cdot x + b_0\] är lika med varandra om deras koefficienter överensstämmer: \[a_0 = b_0, a_1 = b_1, \ldots, a_n = b_n.\]

Följande två polynom \(P(x) = 0 + 2a + a \cdot x + b\) och \(Q(x) = 2x + 1\!\,\) är givna. För vilka värden av \(a\) och \(b\) är de två polymen lika med varandra?

Det som jämförs är:

1. \(a \cdot x = 2x\) (Jämförelse av koefficienterna till \(x^1\))
2. \(2a + b = 1\!\,\) (Jämförelse av koefficienterna till \(x^0\))

Lösning\[a = 2\] och \(b=-3\)

Anta att följande uttryck är givet\[ { 87+13 \over (x+9)/5 } \]

a) Hitta ett positivt heltal för x så att uttryckets värde blir störst.

b) Beräkna detta maximala värde.