Skillnad mellan versioner av "1.3 Övningar till Polynom i faktorform"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Övning 9)
m (→‎Övning 12)
 
(12 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 114: Rad 114:
 
== Övning 10 ==
 
== Övning 10 ==
 
<div class="ovning">
 
<div class="ovning">
−
Två polynom är givna:  
+
Vi har följande delfaktorisering av ett 3:e gradspolynom:  
  
−
<math> P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b </math>  
+
::<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot {\rm (ett\ polynom)} </math>
 +
 
 +
a) Bestäm det okända polynomet som en summa av termer.
  
−
<math> Q(x) = 4 \cdot x - 6 </math>
+
b) Ange 3:e gradspolynomets fullständiga faktorisering. Svara med två decimaler.
  
−
För vilka värden av <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är <math> P(x) = Q(x)\, </math>?
+
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 10a|1.3 Svar 10a|Lösning 10a|1.3 Lösning 10a|Svar 10b|1.3 Svar 10b|Lösning 10b|1.3 Lösning 10b}}
−
 
+
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 10|1.3 Svar 10|Lösning 10|1.3 Lösning 10}}
+
  
 
== MVG-övningar: 11-12 ==
 
== MVG-övningar: 11-12 ==
  
 
== Övning 11 ==
 
== Övning 11 ==
−
 
 
<div class="ovning">
 
<div class="ovning">
−
Följande 2:a gradspolynom är givet:
+
Följande 4:e gradspolynom är givet och har dubbelroten x = -1:
  
−
:<math> P(x) = x^2 - 10\,x + 16 </math>
+
:<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 </math>
  
−
a) Utveckla uttrycket <math> Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) </math> till ett polynom. Bestäm <math> a\, </math> och <math> b\, </math> så att <math> P(x) = Q(x)\, </math>. Använd jämförelse av koefficienter.
+
a) Ange med hjälp av dubbelroten en delfaktorisering av P(x).
  
−
b) Visa att de värden du får för <math> a\, </math> och <math> b\, </math> i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:
+
b) Faktorisera P(x) fullständigt.
  
−
:<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math>
+
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 11a|1.3 Svar 11a|Lösning 11a|1.3 Lösning 11a|Svar 11b|1.3 Svar 11b|Lösning 11b|1.3 Lösning 11b}}
−
 
+
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 11a|1.3 Svar 11a|Lösning 11a|1.3 Lösning 11a|Svar & lösning 11b|1.3 Lösning 11b}}
+
  
 
== Övning 12 ==
 
== Övning 12 ==
−
 
 
<div class="ovning">
 
<div class="ovning">
−
Visa att 2:a gradspolynomet <math> P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 </math> kan skrivas som
+
Anta att två nollställen till polynomet:
  
−
:<math> (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) </math>
+
:<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 </math>
  
−
vilket innebär en faktorisering av polynomet <math> P(x)\, </math>. Bestäm a, b, c och d genom att:
+
har samma absolutbelopp, men olika förtecken.
  
−
a) Hitta först polynomet <math> P(x)\, </math>:s rötter <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> exakt, dvs bibehåll bråkformen.
+
a) Bestäm dessa två nollställen och ange en delfaktorisering av P(x).
  
−
b) Sätt sedan <math> P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)  </math> och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.
+
b) Faktorisera P(x) fullständigt.
  
 
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.3 Svar 12a|Lösning 12a|1.3 Lösning 12a|Svar 12b|1.3 Svar 12b|Lösning 12b|1.3 Lösning 12b}}
 
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.3 Svar 12a|Lösning 12a|1.3 Lösning 12a|Svar 12b|1.3 Svar 12b|Lösning 12b|1.3 Lösning 12b}}

Nuvarande version från 8 januari 2011 kl. 14.17

       Teori          Övningar      


G-övningar: 1-6

Övning 1

Om

x3−5x2+12x−6=(x−2)⋅(ett polynom)

vad är då graden till det okända polynomet?

Svar 1 | Lösning 1

Övning 2

Vi har:

4x2+16x−8=(x+3)⋅(ett polynom)

a) Vad är graden till det okända polynomet?

b) Vad är koefficienten till x-termen i det okända polynomet?

Svar 2a | Lösning 2a | Svar 2b | Lösning 2b

Övning 3

Ange ett polynom i faktorform vars nollställen är:

a) 2 och 6

b) -2, och -6

c) 1, -5 och 4

Svar 3a | Lösning 3a | Svar 3b | Lösning 3b | Svar 3c | Lösning 3c

Övning 4

Ange nollställen till följande polynom:

a) (x−2)⋅(x+1)

b) (3x−1)⋅(2x+1)

Svar 4a | Lösning 4a | Svar 4b | Lösning 4b

Övning 5

Grafen till en polynomfunktion ser ut så här:

13Övn5 2agradspol.jpg

a) Ange några exempel på polynom i faktorform vars nollställen är identiska med kurvans nollställen.

b) Ange det polynom i faktorform vars graf är kurvan ovan.

Svar & lösning 5a | Svar 5b | Lösning 5b

Övning 6

Faktorisera följande polynom och kontrollera dina svar genom utveckling av de erhållna resultaten:

a) x2−6x+8

b) 3x2+3x−6

c) 4x2−36

Svar 6a | Lösning 6a | Svar 6b | Lösning 6b | Svar 6c | Lösning 6c

VG-övningar: 7-10

Övning 7

Grafen till en polynomfunktion ser ut så här:

13Övn7 3egradspol.jpg

Ange det polynom i faktorform vars graf är kurvan ovan.

Svar 7 | Lösning 7

Övning 8

Faktorisera följande polynom och kontrollera dina svar genom utveckling av de erhållna resultaten. Ange slutresultaten med heltalskoefficienter.

a) 9x2−6x+1

b) x2+4x−4

c) 49z2+14z+1

Svar 8a | Lösning 8a | Svar 8b | Lösning 8b | Svar 8c | Lösning 8c

Övning 9

Ange den fullständiga faktoriseringen av polynomet

x3−9x2+26x−24

om en av faktorerna är (x−4).

Svar 9 | Lösning 9

Övning 10

Vi har följande delfaktorisering av ett 3:e gradspolynom:

x3−17x2+54x−8=(x−4)⋅(ett polynom)

a) Bestäm det okända polynomet som en summa av termer.

b) Ange 3:e gradspolynomets fullständiga faktorisering. Svara med två decimaler.

Svar 10a | Lösning 10a | Svar 10b | Lösning 10b

MVG-övningar: 11-12

Övning 11

Följande 4:e gradspolynom är givet och har dubbelroten x = -1:

P(x)=x4−7x3+3x2+31x+20

a) Ange med hjälp av dubbelroten en delfaktorisering av P(x).

b) Faktorisera P(x) fullständigt.

Svar 11a | Lösning 11a | Svar 11b | Lösning 11b

Övning 12

Anta att två nollställen till polynomet:

P(x)=x4+3x3−7x2−27x−18

har samma absolutbelopp, men olika förtecken.

a) Bestäm dessa två nollställen och ange en delfaktorisering av P(x).

b) Faktorisera P(x) fullständigt.

Svar 12a | Lösning 12a | Svar 12b | Lösning 12b

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.3_Övningar_till_Polynom_i_faktorform&oldid=1633"