Skillnad mellan versioner av "3.4 Övningar till Kurvkonstruktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
| − | < | + | <big>I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.</big> |
| − | < | + | <big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span></big></big></big> |
| Rad 95: | Rad 95: | ||
| − | < | + | <big><big><big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></big></big></big> |
| Rad 137: | Rad 137: | ||
<tr> | <tr> | ||
<td><math> \,f(x) </math></td> | <td><math> \,f(x) </math></td> | ||
| − | <td> < | + | <td> <b><big><big>↘</big></big></b> </td> |
| − | <td> < | + | <td> <b><span style="color:red">Terass</span></b> </td> |
| − | <td> < | + | <td> <b><big><big>↘</big></big></b> </td> |
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| Rad 148: | Rad 148: | ||
Jennifer kollar Kalles lösning och kommer fram till en annan lösning: | Jennifer kollar Kalles lösning och kommer fram till en annan lösning: | ||
| − | Hon identifierar <math> \, x \, = \, 0 \, </math> som en annan typ av [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|< | + | Hon identifierar <math> \, x \, = \, 0 \, </math> som en annan typ av [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<b><span style="color:blue">kritisk punkt</span></b>]]. Jennifer menar: |
| − | Varken av Kalles teckentabell eller av räknarens graf kan dras slutsatsen att <math> \, x = 0 \, </math> är en terasspunkt. | + | Varken av Kalles teckentabell eller av räknarens graf kan dras slutsatsen att <math> \, x = 0 \, </math> är en terasspunkt. |
a) Vem har rätt? Lös uppgiften själv. | a) Vem har rätt? Lös uppgiften själv. | ||
| Rad 163: | Rad 163: | ||
| − | < | + | <big><big><big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 7-9</span></big></big></big> |
== <b>Övning 7</b> == | == <b>Övning 7</b> == | ||
| + | <div class="ovnA"> | ||
| + | Läs övning 6 (ovan) där både Kalle och Jennifer löst uppgiften med hjälp av en teckenstudie. | ||
| + | |||
| + | Bestäm den kritiska punkten <math> x = 0 </math>:s karaktär (övn 6a) med hjälp av högre derivator genom att använda följande regel (överkurs): | ||
| + | |||
| + | <div class="border-divblue"><small> | ||
| + | Anta att <math> \, n \, </math> är ett heltal. | ||
| + | |||
| + | <math> f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, </math> och <math> \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, < \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; </math> är ett <b><span style="color:red">maximum</span></b> om <math> \; {\color {Red} n} \; </math> är jämnt. | ||
| + | |||
| + | <math> f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, </math> och <math> \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, > \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; </math> är ett <b><span style="color:red">minimum</span></b> om <math> \; {\color {Red} n} \; </math> är jämnt. | ||
| + | |||
| + | <math> f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n)}(a) = 0 \, </math> och <math> \, {\color {Red} {f\,^{(n+1)}(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; </math> är en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> om <math> \; {\color {Red} n} \; </math> är jämnt. | ||
| + | ---- | ||
| + | <math> {\color {Red} {f\,^{(n)}(x)}} \; </math> betecknar den <math> \, {\color {Red} n}</math>-te derivatan av funktionen <math> y = f(x) </math>. För <math> n > 3 </math> skrivs <math> \, n \, </math> (derivatans grad) med romerska siffror. <br> | ||
| + | </small></div> | ||
| + | |||
| + | {{#NAVCONTENT:Svar 7|3.4 Svar 7|Lösning 7|3.4 Lösning 7}}</div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == <b>Övning 8</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
Ställ upp en 3:e gradsfunktion som går genom origo och har: | Ställ upp en 3:e gradsfunktion som går genom origo och har: | ||
| Rad 178: | Rad 199: | ||
d) Visualisera dina resultat genom att rita graferna till funktionerna ovan samt deras derivator. | d) Visualisera dina resultat genom att rita graferna till funktionerna ovan samt deras derivator. | ||
| − | {{#NAVCONTENT:Svar | + | {{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.4 Svar 7a|Lösning 8a|3.4 Lösning 7a|Svar 8b|3.4 Svar 7b|Lösning 8b|3.4 Lösning 7b|Svar 8c|3.4 Svar 7c|Lösning 8c|3.4 Lösning 7c|Lösning 8d|3.4 Lösning 7d}}</div> |
| − | == <b>Övning | + | == <b>Övning 9</b> == |
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
| Rad 199: | Rad 220: | ||
Ange alla numeriska svar med tre decimaler. | Ange alla numeriska svar med tre decimaler. | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 9a|3.4 Svar 8a|Lösning 9a|3.3 Lösning 8a|Svar 9b|3.4 Svar 8b|Lösning 9b|3.3 Lösning 8b|Lösning 9c|3.4 Lösning 8c}}</div> | |
| − | + | ||
Versionen från 2 januari 2017 kl. 13.53
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.
E-övningar: 1-4
Övning 1
Följande graf till en funktion med definitionsmängden \( \, -6 \leq x \leq 5 \) är given:
a) Avläs från grafen funktionens största och minsta värde.
b) Hur många nollställen har funktionens derivata? Motivera.
c) Avläs från grafen derivatans nollställen.
d) Anta att grafen visar en polynomfunktion. Ange polynomets grad. Motivera.
Hämtar...
Övning 2
a) Figuren visar grafen till en funktion med samma förlopp som i övning 1,
- men med en annan definitionsmängd: \( \, -6 < x < 5 \).
- Ange funktionens största och minsta värde.
b) Funktionen \( \, \displaystyle f(x) = x - \frac{x^3}{3} \, \) är definierad i intervallet \( \, -3 \leq x \leq 3 \).
- Bestäm funktionens lokala och globala maxima och minima samt deras koordinater.
c) En funktion med samma funktionsuttryck som i b) har definitionsmängden \( \, -3 < x < 3 \).
- Ange funktionens globala maxima och minima.
Övning 3
Följande funktion är given:
- \[ f(x) \, = \, {4 \over 3} \, x^3 - 16 \, x \]
a) Derivera \( \, f(x) \, \) två gånger.
b) Beräkna derivatans nollställen.
c) Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och avgör om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
d) Ange de i c) hittade punkters koordinater.
e) Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \, \) i olika koordinatsystem.
Övning 4
Följande funktion är definierad i intervallet \( \, -1 \leq x \leq 5 \, \):
- \[ y \, = \, f(x) \, = \, -{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \qquad \]
a) Undersök algebraiskt om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter och ange deras koordinater.
b) Skissa dina resultat från a).
c) Beräkna funktionens största och minsta värden.
d) Inför dina resultat i samma skiss som i b) och skissa förloppet till \( \, f(x) \, \).
e) Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till \( \, f(x) \, \).
C-övningar: 5-6
Övning 5
En funktions första, andra och tredje derivata är givna i grafisk form:
Använd graferna ovan för att skissa det ungefärliga förloppet till funktionen \( \, f(x) \, \).
Motivera din skiss.
Övning 6
Kalle kommer hem från skolan där han skrivit nationella provet i Matte 3 och bl.a. löst följande uppgift:
Undersök om följande funktion har en lokal maximi-, minimi- eller terasspunkt för \( \, x \, = \, 0 \, \):
- \[ \, f(x) \, = \, x^4\, (1 \, - \, x) \, \]
Han berättar för Jennifer att han pga följande teckentabell har identifierat \( \, x \, = \, 0 \, \) som en terasspunkt:
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \( f\,'(x) \) | \(-\) | \(0\) | \(-\) |
| \( \,f(x) \) | ↘ | Terass | ↘ |
Dessutom berättar Kalle att han på sin grafräknare har ritat grafen till \( \, f(x) \, \) som även visat en terasspunkt.
Jennifer kollar Kalles lösning och kommer fram till en annan lösning:
Hon identifierar \( \, x \, = \, 0 \, \) som en annan typ av kritisk punkt. Jennifer menar:
Varken av Kalles teckentabell eller av räknarens graf kan dras slutsatsen att \( \, x = 0 \, \) är en terasspunkt.
a) Vem har rätt? Lös uppgiften själv.
b) Har \( \, f(x) \, \) även andra kritiska punkter? Om ja, hitta dem och bestäm deras karaktär.
c) Visualisera dina resultat.
A-övningar: 7-9
Övning 7
Läs övning 6 (ovan) där både Kalle och Jennifer löst uppgiften med hjälp av en teckenstudie.
Bestäm den kritiska punkten \( x = 0 \):s karaktär (övn 6a) med hjälp av högre derivator genom att använda följande regel (överkurs):
Anta att \( \, n \, \) är ett heltal.
\( f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, \) och \( \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, < \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; \) är ett maximum om \( \; {\color {Red} n} \; \) är jämnt.
\( f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, \) och \( \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, > \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; \) är ett minimum om \( \; {\color {Red} n} \; \) är jämnt.
\( f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n)}(a) = 0 \, \) och \( \, {\color {Red} {f\,^{(n+1)}(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; \) är en terasspunkt om \( \; {\color {Red} n} \; \) är jämnt.
\( {\color {Red} {f\,^{(n)}(x)}} \; \) betecknar den \( \, {\color {Red} n}\)-te derivatan av funktionen \( y = f(x) \). För \( n > 3 \) skrivs \( \, n \, \) (derivatans grad) med romerska siffror.
Övning 8
Ställ upp en 3:e gradsfunktion som går genom origo och har:
a) Endast en kritisk punkt.
b) Exakt två kritiska punkter.
c) Ingen kritisk punkt alls.
d) Visualisera dina resultat genom att rita graferna till funktionerna ovan samt deras derivator.
Övning 9
Följande funktion är given:
- \[ f(x) \, = \, x^2 \, (x + 1) \, (2\,x + 5) + 1 \]
a) Bestäm funktionens alla ev. lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter och ange deras koordinater.
b) Hitta funktionens alla inflexionspunkter samt deras koordinater.
c) Rita grafen till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.
- Markera inflexionspunkterna i båda graferna.
- Förklara varför derivatan har sina extrema i funktionens inflexionspunkter.
Ange alla numeriska svar med tre decimaler.
Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
