3.4 Lösning 2b
Lokala maxima och minima
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \\ f'(x) & = & 1 \, - \, x^2 \\ f''(x) & = & - 2\,x \end{array}\]
Sätter derivatan till \( \, 0 \, \) och beräknar derivatans nollställen:
- \[ \begin{array}{rcl} 1 \, - \, x^2 & = & 0 \\ x^2 & = & 1 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & -1 \end{array}\]
Sätter in derivatans nollställen i andraderivatan:
- \[ \; f''(x) \, = \, - 2\,x \]
| \( \underline{x_1 = 1} \, \): | \( \;\; f''(1) \, = \, - 2 \cdot 1 \, = \, -2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1 \; \) lokalt maximum. |
| \( \underline{x_2 = -1} \): |
\( f''(-1) \, = \, - 2 \cdot (-1) \, = \, 2 > 0 \; \Longrightarrow \; x_2 = -1 \; \) lokalt minimum. |
De lokala maximi- och minimipunkternas \( y\)-koordinater:
\( \quad f(x) = \displaystyle x - \frac{x^3}{3} \)
\( \quad f(1) = \displaystyle 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \, \Longrightarrow \, \left(1, \frac{2}{3}\right) \, \) är lokal maximipunkt.
\( \quad f(-1) = \displaystyle{-1 - \frac{-1}{3} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}} \, \Longrightarrow \, \left(-1, -\frac{2}{3}\right) \) är lokal minimipunkt.
Globala maxima och minima
Beräknar funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter \( \, -3 \, \) och \( \, 3 \):
- \[ f(x) \, = \, \displaystyle x \, - \, \frac{x^3}{3} \]
- \[ f(-3) \, = \, \displaystyle -3 \, - \, \frac{(-3)^3}{3} \, = \, -3 \, + \, 9 \, = \, 6 \]
- \[ f(3) \, = \, \displaystyle 3 \, - \, \frac{3^3}{3} \, = \, 3 \, - \, 9 \, = \, -6 \]
Jämför dem med de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:
Lokala maximivärdet var \( \, \displaystyle \frac{2}{3} \, \), se ovan.
\( \quad\; \displaystyle 6 \, > \, \frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 6 \quad \) är funktionens största värde: globalt maximum.
Lokala minimivärdet var \( \, \displaystyle -\frac{2}{3} \, \), se ovan.
\( \quad\; \displaystyle -6 \, < \, -\frac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad -6 \quad \) är funktionens minsta värde: globalt minimum.
Värdena \( \, 6 \, \) och \( \, -6 \) antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter,
eftersom intervallet \( \, -3 \leq x \leq 3 \, \) är slutet. Därför är \( \, 6 \, \) och \( \, -6 \, \) globala extrema.
\( \quad (-3, 6) \; \) är global maximipunkt.
\( \quad (3, -6) \; \) är global minimipunkt.
