3.4 Lösning 7a
Den allmänna formen till en 3:e gradsfunktion är:
- \[ y = a\,x^3 \, + \, b\,x^2 \, + \, c\,x \, + \, d \]
med \( \; a,\, b,\, c,\, d = \) konstanter.
"Går genom origo" \( \quad \Longrightarrow \quad d = 0 \, \).
Vi har:
- \[\begin{array}{rcl} y & = & a\,x^3 \, + \, b\,x^2 \, + \, c\,x \\ y\,' & = & 3\,a\,x^2 \, + \, 2\,b\,x \, + \, c \end{array}\]
För att få reda på lokala extrema sätter vi derivatan till \( \, 0 \, \) och löser ekvationen, varvid \( \, a,\, b,\, c \, \) behandlas som konstanter:
- \[\begin{array}{rcl} 3\,a\,x^2 + 2\,b\,x + c & = & 0 \\ x^2 + {2\,b \over 3\,a}\,x + {c \over 3\,a} & = & 0 \\ x_{1, 2} & = & -\,{b \over 3\,a}\,\pm\,\sqrt{{b^2 \over 9\,a^2}\,-\,{c \over 3\,a}} \end{array}\]
Om derivatan ska ha endast ett nollställe och därmed funktionen endast en kritisk punkt, måste uttrycket under roten bli \( \, 0 \, \):
- \[ {b^2 \over 9\,a^2} \, = \, {c \over 3\,a} \]
Vi multiplicerar båda leden med \( \, 9\,a^2 \, \):
- \[ b^2 \, = \, 3\,a\,c \]
Detta samband måste gälla mellan konstanterna \( \, a,\, b,\, c \, \) för att funktionen ska ha endast en kritisk punkt. Det finns oändligt många möjligheter. Vi väljer \( \, a \, = \, 3 \, \) och \( \, c \, = \, 1 \, \) varav följer \( \, b \, = \, 3 \, \). Detta ger funktionen:
- \[ y \, = \, 3\,x^3 \, + \, 3\,x^2 \, + \, x \]
