Skillnad mellan versioner av "3.4 Övningar till Kurvkonstruktioner"

Nuvarande version från 21 januari 2017 kl. 20.28

<< Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Nästa avsnitt >>

I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.

E-övningar: 1-4

Övning 1

Följande graf till en funktion med definitionsmängden \( \, -6 \leq x \leq 5 \) är given:

a) Avläs från grafen funktionens största och minsta värde.

b) Hur många nollställen har funktionens derivata? Motivera.

c) Avläs från grafen derivatans nollställen.

d) Anta att grafen visar en polynomfunktion. Ange polynomets grad. Motivera.

Svar 1a

Svar 1b

Lösning 1b

Svar 1c

Svar 1d

Lösning 1d

Övning 2

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, {4 \over 3} \, x^3 - 16 \, x \]

a) Derivera \( \, f(x) \, \) två gånger.

b) Beräkna derivatans nollställen.

c) Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och avgör om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.

d) Ange de i c) hittade punkters koordinater.

e) Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \, \) i olika koordinatsystem.

Svar 2a

Svar 2b

Lösning 2b

Svar 2c

Lösning 2c

Svar 2d

Lösning 2d

Lösning 2e

Övning 3

Figuren visar grafen till en funktion med samma förlopp som i övning 1,

men med en annan definitionsmängd: \( \, -6 < x < 5 \).

Ange funktionens största och minsta värde.

Svar 3

3.4 Svar 2a

Lösning 3

3.4 Lösning 2a

Övning 4

Funktionen \( \, \displaystyle f(x) = x - \frac{x^3}{3} \, \) är definierad i intervallet \( \, -3 \leq x \leq 3 \).

a) Bestäm funktionens lokala och globala maxima och minima samt deras koordinater.

b) Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till \( \, f(x) \, \) och markera punkterna från a).

c) En funktion med samma funktionsuttryck som \( \, f(x) \, \) har definitionsmängden \( \, -3 < x < 3 \).

Ange funktionens globala maxima och minima.

Svar 4a

Lösning 4a

Lösning 4b

Svar 4c

Lösning 4c

C-övningar: 5-7

Övning 5

Följande funktion är definierad i intervallet \( \, -1 \leq x \leq 5 \, \):

\[ y \, = \, f(x) \, = \, -{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \qquad \]

a) Undersök algebraiskt om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter och ange deras koordinater.

b) Skissa dina resultat från a).

c) Beräkna funktionens största och minsta värden.

d) Inför dina resultat i samma skiss som i b) och skissa förloppet till \( \, f(x) \, \).

e) Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till \( \, f(x) \, \).

Svar 5a

Lösning 5a

Lösning 5b

Svar 5c

Lösning 5c

Lösning 5d

Lösning 5e

Övning 6

En funktions första, andra och tredje derivata är givna i grafisk form:

Använd graferna ovan för att skissa det ungefärliga förloppet till funktionen \( \, f(x) \, \).

Motivera din skiss.

Svar 6

3.4 Svar 5

Lösning 6

3.4 Lösning 5

Övning 7

Kalle kommer hem från skolan där han skrivit nationella provet i Matte 3 och bl.a. löst följande uppgift:

Undersök om följande funktion har en lokal maximi-, minimi- eller terasspunkt för \( \, x \, = \, 0 \, \):

\[ \, f(x) \, = \, x^4\, (1 \, - \, x) \, \]

Han berättar för Jennifer att han pga följande teckentabell har identifierat \( \, x \, = \, 0 \, \) som en terasspunkt:

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)
\( f\,'(x) \)	\(-\)	\(0\)	\(-\)
\( \,f(x) \)	↘	Terass	↘

Dessutom berättar Kalle att han på sin grafräknare har ritat grafen till \( \, f(x) \, \) som även visat en terasspunkt.

Jennifer kollar Kalles lösning och kommer fram till en annan lösning:

Hon identifierar \( \, x \, = \, 0 \, \) som en annan typ av kritisk punkt. Jennifer menar:

Varken av Kalles teckentabell eller av räknarens graf kan dras slutsatsen att \( \, x = 0 \, \) är en terasspunkt.

a) Vem har rätt? Lös uppgiften själv.

b) Har \( \, f(x) \, \) även andra kritiska punkter? Om ja, hitta dem och bestäm deras karaktär.

c) Visualisera dina resultat.

Svar 7a

Lösning 7a

Svar 7b

Lösning 7b

Lösning 7c

A-övningar: 8-10

Övning 8

I övning 7 (ovan) hade både Kalle och Jennifer löst uppgiften med hjälp av en teckenstudie.

Bestäm den kritiska punkten \( x = 0 \):s karaktär (övn 6a) med hjälp av högre derivator (istället för teckenstudie) genom att använda följande regel:

Anta att \( \, n \, \) är ett heltal.

\( f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, \) och \( \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, < \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; \) är ett maximum om \( \; {\color {Red} n} \; \) är jämnt.

\( f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, \) och \( \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, > \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; \) är ett minimum om \( \; {\color {Red} n} \; \) är jämnt.

\( f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n)}(a) = 0 \, \) och \( \, {\color {Red} {f\,^{(n+1)}(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; \) är en terasspunkt om \( \; {\color {Red} n} \; \) är jämnt.

\( {\color {Red} {f\,^{(n)}(x)}} \; \) betecknar den \( \, {\color {Red} n}\)-te derivatan av funktionen \( y = f(x) \). För \( n > 3 \) skrivs \( \, n \, \) (derivatans grad) med romerska siffror.

Svar 8

3.4 Svar 7

Lösning 8

3.4 Lösning 7

Övning 9

Ställ upp en 3:e gradsfunktion som går genom origo och har:

a) Endast en kritisk punkt.

b) Exakt två kritiska punkter.

c) Ingen kritisk punkt alls.

d) Visualisera dina resultat genom att rita graferna till funktionerna ovan samt deras derivator.

Svar 9a

Lösning 9a

Svar 9b

Lösning 9b

Svar 9c

Lösning 9c

Lösning 9d

Övning 10

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, x^2 \, (x + 1) \, (2\,x + 5) + 1 \]

a) Bestäm funktionens alla ev. lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter och ange deras koordinater.

b) Hitta funktionens alla inflexionspunkter samt deras koordinater.

c) Rita grafen till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.

Markera inflexionspunkterna i båda graferna.

Förklara varför derivatan har sina extrema i funktionens inflexionspunkter.

Ange alla numeriska svar med tre decimaler.

Svar 10a

Lösning 10a

Svar 10b

Lösning 10b

Lösning 10c

@@ Rad 10: / Rad 10: @@
-<Big>I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.</Big>
+<big>I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.</big>
-<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span></Big></Big></Big>
+<big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span></big></big></big>
@@ Rad 31: / Rad 31: @@
 d) &nbsp; Anta att grafen visar en polynomfunktion. Ange polynomets grad. Motivera.
-{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.4 Svar 1a|Svar 1b|3.4 Svar 1b|Lösning 1b|3.4 Lösning 1b|Svar 1c|3.4 Svar 1c|Svar 1d|3.4 Svar 1d|Lösning 1d|3.4 Lösning 1d}}</div>
+{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.4 Svar 1a|Svar 1b|3.4 Svar 1b|Lösning 1b|3.4 Lösning 1b|Svar 1c|3.4 Svar 1c|Svar 1d|3.4 Svar 1d|Lösning 1d|3.4 Lösning 1d}}
+</div>
 == <b>Övning 2</b> ==
 <div class="ovnE">
-a) &nbsp;Figuren visar grafen till en funktion med samma förlopp som i övning 1,
+Följande funktion är given:
-:men med en annan definitionsmängd<span style="color:black">:</span> <math> \, -6 < x < 5 </math>.
+::<math> f(x) \, = \, {4 \over 3} \, x^3 - 16 \, x </math>
-:[[Image: Ovn 342.jpg]]
+a) &nbsp; Derivera <math> \, f(x) \, </math> två gånger.
-:Ange funktionens största och minsta värde.
+b) &nbsp; Beräkna derivatans nollställen.
-b) &nbsp;Funktionen <math> \, \displaystyle f(x) = x - \frac{x^3}{3} \, </math> är definierad i intervallet <math> \, -3 \leq x \leq 3 </math>.
+c) &nbsp; Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och avgör om <math> \,f(x) \, </math> har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
-:Bestäm funktionens lokala och globala maxima och minima samt deras koordinater.
+d) &nbsp; Ange de i c) hittade punkters koordinater.
-c) &nbsp;En funktion med samma funktionsuttryck som i b) har definitionsmängden <math> \, -3 < x < 3 </math>.
+e) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till <math> \, f(x) \, </math> och <math> \, f\,'(x) \, </math> i olika koordinatsystem.
-:Ange funktionens globala maxima och minima.
+{{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.4 Svar 3a|Svar 2b|3.4 Svar 3b|Lösning 2b|3.4 Lösning 3b|Svar 2c|3.4 Svar 3c|Lösning 2c|3.4 Lösning 3c|Svar 2d|3.4 Svar 3d|Lösning 2d|3.4 Lösning 3d|Lösning 2e|3.4 Lösning 3e}}
+</div>
-{{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.4 Svar 2a|Lösning 2a|3.4 Lösning 2a|Svar 2b|3.4 Svar 2b|Lösning 2b|3.4 Lösning 2b|Svar 2c|3.4 Svar 2c|Lösning 2c|3.4 Lösning 2c}}</div>
 == <b>Övning 3</b> ==
 <div class="ovnE">
-Följande funktion är given:
+Figuren visar grafen till en funktion med samma förlopp som i övning 1,
-::<math> f(x) \, = \, {4 \over 3} \, x^3 - 16 \, x </math>
+men med en annan definitionsmängd<span style="color:black">:</span> <math> \, -6 < x < 5 </math>.
-a) &nbsp; Derivera <math> \, f(x) \, </math> två gånger.
+:[[Image: Ovn 342.jpg]]
-b) &nbsp; Beräkna derivatans nollställen.
+:Ange funktionens största och minsta värde.
-c) &nbsp; Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och avgör om <math> \,f(x) \, </math> har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
+{{#NAVCONTENT:Svar 3|3.4 Svar 2a|Lösning 3|3.4 Lösning 2a}}
+</div>
-d) &nbsp; Ange de i c) hittade punkters koordinater.
-e) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till <math> \, f(x) \, </math> och <math> \, f\,'(x) \, </math> i olika koordinatsystem.
+== <b>Övning 4</b> ==
+<div class="ovnE">
+Funktionen <math> \, \displaystyle f(x) = x - \frac{x^3}{3} \, </math> är definierad i intervallet <math> \, -3 \leq x \leq 3 </math>.
-{{#NAVCONTENT:Svar 3a|3.4 Svar 3a|Svar 3b|3.4 Svar 3b|Lösning 3b|3.4 Lösning 3b|Svar 3c|3.4 Svar 3c|Lösning 3c|3.4 Lösning 3c|Svar 3d|3.4 Svar 3d|Lösning 3d|3.4 Lösning 3d|Lösning 3e|3.4 Lösning 3e}}</div>
+a) &nbsp;Bestäm funktionens lokala och globala maxima och minima samt deras koordinater.
+b) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till <math> \, f(x) \, </math> och markera punkterna från a).
-== <b>Övning 4</b> ==
+c) &nbsp;En funktion med samma funktionsuttryck som <math> \, f(x) \, </math> har definitionsmängden <math> \, -3 < x < 3 </math>.
-<div class="ovnE">
+:Ange funktionens globala maxima och minima.
+{{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.4 Svar 2b|Lösning 4a|3.4 Lösning 2b|Lösning 4b|3.4 Lösning 4bb|Svar 4c|3.4 Svar 2c|Lösning 4c|3.4 Lösning 2c}}
+</div>
+<big><big><big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-7</span></big></big></big>
+== <b>Övning 5</b> ==
+<div class="ovnC">
 Följande funktion är definierad i intervallet <math> \, -1 \leq x \leq 5 \, </math><span style="color:black">:</span>
@@ Rad 90: / Rad 106: @@
 e) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till <math> \, f(x) \, </math>.
-{{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.4 Svar 4a|Lösning 4a|3.4 Lösning 4a|Lösning 4b|3.4 Lösning 4b|Svar 4c|3.4 Svar 4c|Lösning 4c|3.4 Lösning 4c|Lösning 4d|3.4 Lösning 4d|Lösning 4e|3.4 Lösning 4e}}</div>
+{{#NAVCONTENT:Svar 5a|3.4 Svar 4a|Lösning 5a|3.4 Lösning 4a|Lösning 5b|3.4 Lösning 4b|Svar 5c|3.4 Svar 4c|Lösning 5c|3.4 Lösning 4c|Lösning 5d|3.4 Lösning 4d|Lösning 5e|3.4 Lösning 4e}}
+</div>
+== <b>Övning 6</b> ==
-<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
-== <b>Övning 5</b> ==
 <div class="ovnC">
 En funktions första, andra och tredje derivata är givna i grafisk form:
@@ Rad 109: / Rad 121: @@
 Motivera din skiss.
-{{#NAVCONTENT:Svar 5|3.4 Svar 5|Lösning 5|3.4 Lösning 5}}</div>
+{{#NAVCONTENT:Svar 6|3.4 Svar 5|Lösning 6|3.4 Lösning 5}}
+</div>
-== <b>Övning 6</b> ==
+== <b>Övning 7</b> ==
 <div class="ovnC">
 Kalle kommer hem från skolan där han skrivit nationella provet i Matte 3 och bl.a. löst följande uppgift:
@@ Rad 137: / Rad 150: @@
    			<tr>
      			<td><math> \,f(x) </math></td>
-     			<td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
+     			<td> <b><big><big>&#8600;</big></big></b> </td>
-     			<td> <strong><span style="color:red">Terass</span></strong> </td>
+     			<td> <b><span style="color:red">Terass</span></b> </td>
-     			<td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
+     			<td> <b><big><big>&#8600;</big></big></b> </td>
    			</tr>
 		</table>
@@ Rad 148: / Rad 161: @@
 Jennifer kollar Kalles lösning och kommer fram till en annan lösning:
-Hon identifierar <math> \, x \, = \, 0 \, </math> som en annan typ av [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<strong><span style="color:blue">kritisk punkt</span></strong>]]. Jennifer menar:
+Hon identifierar <math> \, x \, = \, 0 \, </math> som en annan typ av [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<b><span style="color:blue">kritisk punkt</span></b>]]. Jennifer menar:
-Varken av Kalles teckentabell eller av räknarens graf kan man dra slutsatsen att <math> \, x \, = \, 0 \, </math> är en terasspunkt.
+Varken av Kalles teckentabell eller av räknarens graf kan dras slutsatsen att <math> \, x = 0 \, </math> är en terasspunkt.
 a) &nbsp; Vem har rätt? Lös uppgiften själv.
@@ Rad 158: / Rad 171: @@
 c) &nbsp; Visualisera dina resultat.
-{{#NAVCONTENT:Svar 6a|3.4 Svar 6a|Lösning 6a|3.4 Lösning 6a|Svar 6b|3.4 Svar 6b|Lösning 6b|3.4 Lösning 6b|Lösning 6c|3.4 Lösning 6c}}</div>
+{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.4 Svar 6a|Lösning 7a|3.4 Lösning 6a|Svar 7b|3.4 Svar 6b|Lösning 7b|3.4 Lösning 6b|Lösning 7c|3.4 Lösning 6c}}
+</div>
-<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 7-8</span></Big></Big></Big>
+<big><big><big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 8-10</span></big></big></big>
-== <b>Övning 7</b> ==
+== <b>Övning 8</b> ==
+<div class="ovnA">
+I övning 7 (ovan) hade både Kalle och Jennifer löst uppgiften med hjälp av en teckenstudie.
+Bestäm den kritiska punkten <math> x = 0 </math>:s karaktär (övn 6a) med hjälp av högre derivator (istället för teckenstudie) genom att använda följande regel:
+<div class="border-divblue"><small>
+Anta att <math> \, n \, </math> är ett heltal.
+<math> f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, </math> och <math> \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, < \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; </math> är ett &nbsp; <b><span style="color:red">maximum</span></b> &nbsp; om <math> \; {\color {Red} n} \; </math> är jämnt.
+<math> f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, </math> och <math> \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, > \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; </math> är ett &nbsp; <b><span style="color:red">minimum</span></b> &nbsp; om <math> \; {\color {Red} n} \; </math> är jämnt.
+<math> f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n)}(a) = 0 \, </math> och <math> \, {\color {Red} {f\,^{(n+1)}(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; </math> är en &nbsp; <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> &nbsp; om <math> \; {\color {Red} n} \; </math> är jämnt.
+----
+<math> {\color {Red} {f\,^{(n)}(x)}} \; </math> betecknar den <math> \, {\color {Red} n}</math>-te derivatan av funktionen <math> y = f(x) </math>. För <math> n > 3 </math> skrivs <math> \, n \, </math> (derivatans grad) med romerska siffror. <br>
+</small></div> &nbsp; &nbsp;
+{{#NAVCONTENT:Svar 8|3.4 Svar 7|Lösning 8|3.4 Lösning 7}}
+</div>
+== <b>Övning 9</b> ==
 <div class="ovnA">
 Ställ upp en 3:e gradsfunktion som går genom origo och har:
@@ Rad 178: / Rad 214: @@
 d) &nbsp; Visualisera dina resultat genom att rita graferna till funktionerna ovan samt deras derivator.
-{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.4 Svar 7a|Lösning 7a|3.4 Lösning 7a|Svar 7b|3.4 Svar 7b|Lösning 7b|3.4 Lösning 7b|Svar 7c|3.4 Svar 7c|Lösning 7c|3.4 Lösning 7c|Lösning 7d|3.4 Lösning 7d}}</div>
+{{#NAVCONTENT:Svar 9a|3.4 Svar 7a|Lösning 9a|3.4 Lösning 7a|Svar 9b|3.4 Svar 7b|Lösning 9b|3.4 Lösning 7b|Svar 9c|3.4 Svar 7c|Lösning 9c|3.4 Lösning 7c|Lösning 9d|3.4 Lösning 7d}}
+</div>
-== <b>Övning 8</b> ==
+== <b>Övning 10</b> ==
 <div class="ovnA">
 Följande funktion är given:
@@ Rad 199: / Rad 236: @@
 Ange alla numeriska svar med tre decimaler.
-<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.4 Svar 8a|Lösning 8a|3.4 Lösning 8a|Svar 8b|3.4 Svar 8b|Lösning 8b|3.4 Lösning 8b|Lösning 8c|3.4 Lösning 8c}} -->
+{{#NAVCONTENT:Svar 10a|3.4 Svar 8a|Lösning 10a|3.3 Lösning 8a|Svar 10b|3.4 Svar 8b|Lösning 10b|3.3 Lösning 8b|Lösning 10c|3.4 Lösning 8c}}
-{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.4 Svar 8a|Lösning 8a|3.3 Lösning 8a|Svar 8b|3.4 Svar 8b|Lösning 8b|3.3 Lösning 8b|Lösning 8c|3.4 Lösning 8c}}</div>
+</div>