Skillnad mellan versioner av "3.4 Övningar till Kurvkonstruktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(11 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[3.3 Terasspunkter|<math> \pmb{\gets} </math> Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.3 Terasspunkter| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.4 Kurvkonstruktioner|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[3.4 Övningar till Kurvkonstruktioner|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[3.4 Övningar till Kurvkonstruktioner|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|--> Nästa avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
<Big>I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.</Big>
+
<big>I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.</big>
  
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span></Big></Big></Big>
+
<big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span></big></big></big>
  
  
 +
== <b>Övning 1</b> ==
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 1</span></b> ==
 
 
Följande graf till en funktion med definitionsmängden <math> \, -6 \leq x \leq 5 </math> är given:
 
Följande graf till en funktion med definitionsmängden <math> \, -6 \leq x \leq 5 </math> är given:
  
Rad 31: Rad 31:
 
d) &nbsp; Anta att grafen visar en polynomfunktion. Ange polynomets grad. Motivera.
 
d) &nbsp; Anta att grafen visar en polynomfunktion. Ange polynomets grad. Motivera.
  
−
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.4 Svar 1a|Svar 1b|3.4 Svar 1b|Lösning 1b|3.4 Lösning 1b|Svar 1c|3.4 Svar 1c|Svar 1d|3.4 Svar 1d|Lösning 1d|3.4 Lösning 1d}}</div>
+
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.4 Svar 1a|Svar 1b|3.4 Svar 1b|Lösning 1b|3.4 Lösning 1b|Svar 1c|3.4 Svar 1c|Svar 1d|3.4 Svar 1d|Lösning 1d|3.4 Lösning 1d}}
 +
</div>
  
  
 +
== <b>Övning 2</b> ==
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 2</span></b> ==
 
−
Figuren visar grafen till en funktion med samma förlopp som i övning 1, men med en annan definitionsmängd<span style="color:black">:</span> <math> \, -6 < x < 5 \, </math>.
 
−
 
−
:[[Image: Ovn 342.jpg]]
 
−
 
−
 
−
Ange funktionens största och minsta värde.
 
−
 
−
{{#NAVCONTENT:Svar 2|3.4 Svar 2a|Lösning 2|3.4 Lösning 2a}}</div>
 
−
 
−
 
−
<div class="ovnE">
 
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 3</span></b> ==
 
 
Följande funktion är given:
 
Följande funktion är given:
  
Rad 62: Rad 51:
 
e) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till <math> \, f(x) \, </math> och <math> \, f\,'(x) \, </math> i olika koordinatsystem.
 
e) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till <math> \, f(x) \, </math> och <math> \, f\,'(x) \, </math> i olika koordinatsystem.
  
−
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|3.4 Svar 3a|Svar 3b|3.4 Svar 3b|Lösning 3b|3.4 Lösning 3b|Svar 3c|3.4 Svar 3c|Lösning 3c|3.4 Lösning 3c|Svar 3d|3.4 Svar 3d|Lösning 3d|3.4 Lösning 3d|Lösning 3e|3.4 Lösning 3e}}</div>
+
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.4 Svar 3a|Svar 2b|3.4 Svar 3b|Lösning 2b|3.4 Lösning 3b|Svar 2c|3.4 Svar 3c|Lösning 2c|3.4 Lösning 3c|Svar 2d|3.4 Svar 3d|Lösning 2d|3.4 Lösning 3d|Lösning 2e|3.4 Lösning 3e}}
 +
</div>
  
  
 +
== <b>Övning 3</b> ==
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 4</span></b> ==
+
Figuren visar grafen till en funktion med samma förlopp som i övning 1,
 +
 
 +
men med en annan definitionsmängd<span style="color:black">:</span> <math> \, -6 < x < 5 </math>.
 +
 
 +
:[[Image: Ovn 342.jpg]]
 +
 
 +
:Ange funktionens största och minsta värde.
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 3|3.4 Svar 2a|Lösning 3|3.4 Lösning 2a}}
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 4</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Funktionen <math> \, \displaystyle f(x) = x - \frac{x^3}{3} \, </math> är definierad i intervallet <math> \, -3 \leq x \leq 3 </math>.
 +
 
 +
a) &nbsp;Bestäm funktionens lokala och globala maxima och minima samt deras koordinater.
 +
 
 +
b) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till <math> \, f(x) \, </math> och markera punkterna från a).
 +
 
 +
c) &nbsp;En funktion med samma funktionsuttryck som <math> \, f(x) \, </math> har definitionsmängden <math> \, -3 < x < 3 </math>.
 +
 
 +
:Ange funktionens globala maxima och minima.
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.4 Svar 2b|Lösning 4a|3.4 Lösning 2b|Lösning 4b|3.4 Lösning 4bb|Svar 4c|3.4 Svar 2c|Lösning 4c|3.4 Lösning 2c}}
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<big><big><big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-7</span></big></big></big>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 5</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 
Följande funktion är definierad i intervallet <math> \, -1 \leq x \leq 5 \, </math><span style="color:black">:</span>
 
Följande funktion är definierad i intervallet <math> \, -1 \leq x \leq 5 \, </math><span style="color:black">:</span>
  
Rad 81: Rad 106:
 
e) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till <math> \, f(x) \, </math>.
 
e) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till <math> \, f(x) \, </math>.
  
−
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.4 Svar 4a|Lösning 4a|3.4 Lösning 4a|Lösning 4b|3.4 Lösning 4b|Svar 4c|3.4 Svar 4c|Lösning 4c|3.4 Lösning 4c|Lösning 4d|3.4 Lösning 4d|Lösning 4e|3.4 Lösning 4e}}</div>
+
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|3.4 Svar 4a|Lösning 5a|3.4 Lösning 4a|Lösning 5b|3.4 Lösning 4b|Svar 5c|3.4 Svar 4c|Lösning 5c|3.4 Lösning 4c|Lösning 5d|3.4 Lösning 4d|Lösning 5e|3.4 Lösning 4e}}
−
 
+
</div>
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
+
  
  
 +
== <b>Övning 6</b> ==
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 5</span></b> ==
 
 
En funktions första, andra och tredje derivata är givna i grafisk form:
 
En funktions första, andra och tredje derivata är givna i grafisk form:
  
Rad 100: Rad 121:
 
Motivera din skiss.
 
Motivera din skiss.
  
−
{{#NAVCONTENT:Svar 5|3.4 Svar 5|Lösning 5|3.4 Lösning 5}}</div>
+
{{#NAVCONTENT:Svar 6|3.4 Svar 5|Lösning 6|3.4 Lösning 5}}
 +
</div>
  
  
 +
== <b>Övning 7</b> ==
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 6</span></b> ==
 
 
Kalle kommer hem från skolan där han skrivit nationella provet i Matte 3 och bl.a. löst följande uppgift:
 
Kalle kommer hem från skolan där han skrivit nationella provet i Matte 3 och bl.a. löst följande uppgift:
  
Rad 128: Rad 150:
 
   <tr>
 
   <tr>
 
     <td><math> \,f(x) </math></td>
 
     <td><math> \,f(x) </math></td>
−
     <td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
+
     <td> <b><big><big>&#8600;</big></big></b> </td>
−
     <td> <strong><span style="color:red">Terass</span></strong> </td>
+
     <td> <b><span style="color:red">Terass</span></b> </td>
−
     <td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
+
     <td> <b><big><big>&#8600;</big></big></b> </td>
 
   </tr>
 
   </tr>
 
</table>
 
</table>
Rad 139: Rad 161:
 
Jennifer kollar Kalles lösning och kommer fram till en annan lösning:
 
Jennifer kollar Kalles lösning och kommer fram till en annan lösning:
  
−
Hon identifierar <math> \, x \, = \, 0 \, </math> som en annan typ av [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<strong><span style="color:blue">kritisk punkt</span></strong>]]. Jennifer menar:  
+
Hon identifierar <math> \, x \, = \, 0 \, </math> som en annan typ av [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<b><span style="color:blue">kritisk punkt</span></b>]]. Jennifer menar:  
  
−
Varken från Kalles teckentabell eller räknarens graf kan man dra slutsatsen att <math> \, x \, = \, 0 \, </math> är en terasspunkt.  
+
Varken av Kalles teckentabell eller av räknarens graf kan dras slutsatsen att <math> \, x = 0 \, </math> är en terasspunkt.
  
−
a) &nbsp; Vem har rätt? Varför? Lös uppgiften själv.
+
a) &nbsp; Vem har rätt? Lös uppgiften själv.
  
−
b) &nbsp; Har <math> \, f(x) \, </math> även andra kritiska punkter? Om ja, hitta och identifiera dem.
+
b) &nbsp; Har <math> \, f(x) \, </math> även andra kritiska punkter? Om ja, hitta dem och bestäm deras [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<b><span style="color:blue">karaktär</span></b>]].
  
 
c) &nbsp; Visualisera dina resultat.
 
c) &nbsp; Visualisera dina resultat.
  
−
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|3.4 Svar 6a|Lösning 6a|3.4 Lösning 6a|Svar 6b|3.4 Svar 6b|Lösning 6b|3.4 Lösning 6b|Lösning 6c|3.4 Lösning 6c}}</div>
+
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.4 Svar 6a|Lösning 7a|3.4 Lösning 6a|Svar 7b|3.4 Svar 6b|Lösning 7b|3.4 Lösning 6b|Lösning 7c|3.4 Lösning 6c}}
 +
</div>
  
  
  
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 7-8</span></Big></Big></Big>
+
<big><big><big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 8-10</span></big></big></big>
  
  
 +
== <b>Övning 8</b> ==
 
<div class="ovnA">
 
<div class="ovnA">
 +
I övning 7 (ovan) hade både Kalle och Jennifer löst uppgiften med hjälp av en teckenstudie.
  
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 7</span></b> ==
+
Bestäm den kritiska punkten <math> x = 0 </math>:s karaktär (övn 6a) med hjälp av högre derivator (istället för teckenstudie) genom att använda följande regel:
 +
 
 +
<div class="border-divblue"><small>
 +
Anta att <math> \, n \, </math> är ett heltal.
 +
 
 +
<math> f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, </math> och <math> \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, < \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; </math> är ett &nbsp; <b><span style="color:red">maximum</span></b> &nbsp; om <math> \; {\color {Red} n} \; </math> är jämnt.
 +
 
 +
<math> f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, </math> och <math> \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, > \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; </math> är ett &nbsp; <b><span style="color:red">minimum</span></b> &nbsp; om <math> \; {\color {Red} n} \; </math> är jämnt.
 +
 
 +
<math> f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n)}(a) = 0 \, </math> och <math> \, {\color {Red} {f\,^{(n+1)}(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; </math> är en &nbsp; <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> &nbsp; om <math> \; {\color {Red} n} \; </math> är jämnt.
 +
----
 +
<math> {\color {Red} {f\,^{(n)}(x)}} \; </math> betecknar den <math> \, {\color {Red} n}</math>-te derivatan av funktionen <math> y = f(x) </math>. För <math> n > 3 </math> skrivs <math> \, n \, </math> (derivatans grad) med romerska siffror. <br>
 +
</small></div> &nbsp; &nbsp;
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8|3.4 Svar 7|Lösning 8|3.4 Lösning 7}}
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 9</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 
Ställ upp en 3:e gradsfunktion som går genom origo och har:
 
Ställ upp en 3:e gradsfunktion som går genom origo och har:
  
Rad 170: Rad 214:
 
d) &nbsp; Visualisera dina resultat genom att rita graferna till funktionerna ovan samt deras derivator.
 
d) &nbsp; Visualisera dina resultat genom att rita graferna till funktionerna ovan samt deras derivator.
  
−
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.4 Svar 7a|Lösning 7a|3.4 Lösning 7a|Svar 7b|3.4 Svar 7b|Lösning 7b|3.4 Lösning 7b|Svar 7c|3.4 Svar 7c|Lösning 7c|3.4 Lösning 7c|Lösning 7d|3.4 Lösning 7d}}</div>
+
{{#NAVCONTENT:Svar 9a|3.4 Svar 7a|Lösning 9a|3.4 Lösning 7a|Svar 9b|3.4 Svar 7b|Lösning 9b|3.4 Lösning 7b|Svar 9c|3.4 Svar 7c|Lösning 9c|3.4 Lösning 7c|Lösning 9d|3.4 Lösning 7d}}
 +
</div>
  
  
 +
== <b>Övning 10</b> ==
 
<div class="ovnA">
 
<div class="ovnA">
−
== <b><span style="color:#931136">Övning 8</span></b> ==
 
 
Följande funktion är given:
 
Följande funktion är given:
  
Rad 191: Rad 236:
 
Ange alla numeriska svar med tre decimaler.
 
Ange alla numeriska svar med tre decimaler.
  
−
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.4 Svar 8a|Lösning 8a|3.4 Lösning 8a|Svar 8b|3.4 Svar 8b|Lösning 8b|3.4 Lösning 8b|Lösning 8c|3.4 Lösning 8c}} -->
+
{{#NAVCONTENT:Svar 10a|3.4 Svar 8a|Lösning 10a|3.3 Lösning 8a|Svar 10b|3.4 Svar 8b|Lösning 10b|3.3 Lösning 8b|Lösning 10c|3.4 Lösning 8c}}
−
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.4 Svar 8a|Lösning 8a|3.3 Lösning 8a|Svar 8b|3.4 Svar 8b|Lösning 8b|3.3 Lösning 8b|Lösning 8c|3.4 Lösning 8c}}</div>
+
</div>
  
  

Nuvarande version från 21 januari 2017 kl. 20.28

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.


E-övningar: 1-4


Övning 1

Följande graf till en funktion med definitionsmängden \( \, -6 \leq x \leq 5 \) är given:

Ovn 341.jpg


a)   Avläs från grafen funktionens största och minsta värde.

b)   Hur många nollställen har funktionens derivata? Motivera.

c)   Avläs från grafen derivatans nollställen.

d)   Anta att grafen visar en polynomfunktion. Ange polynomets grad. Motivera.

Svar 1a
3.4 Svar 1a
Svar 1b
3.4 Svar 1b
Lösning 1b
3.4 Lösning 1b
Svar 1c
3.4 Svar 1c
Svar 1d
3.4 Svar 1d
Lösning 1d
3.4 Lösning 1d


Övning 2

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, {4 \over 3} \, x^3 - 16 \, x \]

a)   Derivera \( \, f(x) \, \) två gånger.

b)   Beräkna derivatans nollställen.

c)   Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och avgör om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.

d)   Ange de i c) hittade punkters koordinater.

e)   Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \, \) i olika koordinatsystem.

Svar 2a
3.4 Svar 3a
Svar 2b
3.4 Svar 3b
Lösning 2b
3.4 Lösning 3b
Svar 2c
3.4 Svar 3c
Lösning 2c
3.4 Lösning 3c
Svar 2d
3.4 Svar 3d
Lösning 2d
3.4 Lösning 3d
Lösning 2e
3.4 Lösning 3e


Övning 3

Figuren visar grafen till en funktion med samma förlopp som i övning 1,

men med en annan definitionsmängd: \( \, -6 < x < 5 \).

Ovn 342.jpg
Ange funktionens största och minsta värde.
Svar 3
3.4 Svar 2a
Lösning 3
3.4 Lösning 2a


Övning 4

Funktionen \( \, \displaystyle f(x) = x - \frac{x^3}{3} \, \) är definierad i intervallet \( \, -3 \leq x \leq 3 \).

a)  Bestäm funktionens lokala och globala maxima och minima samt deras koordinater.

b)   Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till \( \, f(x) \, \) och markera punkterna från a).

c)  En funktion med samma funktionsuttryck som \( \, f(x) \, \) har definitionsmängden \( \, -3 < x < 3 \).

Ange funktionens globala maxima och minima.
Svar 4a
3.4 Svar 2b
Lösning 4a
3.4 Lösning 2b
Lösning 4b
3.4 Lösning 4bb
Svar 4c
3.4 Svar 2c
Lösning 4c
3.4 Lösning 2c



C-övningar: 5-7


Övning 5

Följande funktion är definierad i intervallet \( \, -1 \leq x \leq 5 \, \):

\[ y \, = \, f(x) \, = \, -{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \qquad \]

a)   Undersök algebraiskt om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter och ange deras koordinater.

b)   Skissa dina resultat från a).

c)   Beräkna funktionens största och minsta värden.

d)   Inför dina resultat i samma skiss som i b) och skissa förloppet till \( \, f(x) \, \).

e)   Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till \( \, f(x) \, \).

Svar 5a
3.4 Svar 4a
Lösning 5a
3.4 Lösning 4a
Lösning 5b
3.4 Lösning 4b
Svar 5c
3.4 Svar 4c
Lösning 5c
3.4 Lösning 4c
Lösning 5d
3.4 Lösning 4d
Lösning 5e
3.4 Lösning 4e


Övning 6

En funktions första, andra och tredje derivata är givna i grafisk form:

Ovn 345.jpg


Använd graferna ovan för att skissa det ungefärliga förloppet till funktionen \( \, f(x) \, \).

Motivera din skiss.

Svar 6
3.4 Svar 5
Lösning 6
3.4 Lösning 5


Övning 7

Kalle kommer hem från skolan där han skrivit nationella provet i Matte 3 och bl.a. löst följande uppgift:

Undersök om följande funktion har en lokal maximi-, minimi- eller terasspunkt för \( \, x \, = \, 0 \, \):

\[ \, f(x) \, = \, x^4\, (1 \, - \, x) \, \]

Han berättar för Jennifer att han pga följande teckentabell har identifierat \( \, x \, = \, 0 \, \) som en terasspunkt:

\(x\) \(-1\) \(0\) \(1\)
\( f\,'(x) \) \(-\) \(0\) \(-\)
\( \,f(x) \) ↘ Terass ↘


Dessutom berättar Kalle att han på sin grafräknare har ritat grafen till \( \, f(x) \, \) som även visat en terasspunkt.

Jennifer kollar Kalles lösning och kommer fram till en annan lösning:

Hon identifierar \( \, x \, = \, 0 \, \) som en annan typ av kritisk punkt. Jennifer menar:

Varken av Kalles teckentabell eller av räknarens graf kan dras slutsatsen att \( \, x = 0 \, \) är en terasspunkt.

a)   Vem har rätt? Lös uppgiften själv.

b)   Har \( \, f(x) \, \) även andra kritiska punkter? Om ja, hitta dem och bestäm deras karaktär.

c)   Visualisera dina resultat.

Svar 7a
3.4 Svar 6a
Lösning 7a
3.4 Lösning 6a
Svar 7b
3.4 Svar 6b
Lösning 7b
3.4 Lösning 6b
Lösning 7c
3.4 Lösning 6c



A-övningar: 8-10


Övning 8

I övning 7 (ovan) hade både Kalle och Jennifer löst uppgiften med hjälp av en teckenstudie.

Bestäm den kritiska punkten \( x = 0 \):s karaktär (övn 6a) med hjälp av högre derivator (istället för teckenstudie) genom att använda följande regel:

Anta att \( \, n \, \) är ett heltal.

\( f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, \) och \( \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, < \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; \) är ett   maximum   om \( \; {\color {Red} n} \; \) är jämnt.

\( f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n-1)}(a) = 0 \, \) och \( \, {\color {Red} {f\,^{(n)}(a) \, > \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; \) är ett   minimum   om \( \; {\color {Red} n} \; \) är jämnt.

\( f\,'(a) = f\,''(a) = \, \cdots \, = f\,^{(n)}(a) = 0 \, \) och \( \, {\color {Red} {f\,^{(n+1)}(a) \, \neq \, 0}} \quad \Longrightarrow \quad x = a \; \) är en   terasspunkt   om \( \; {\color {Red} n} \; \) är jämnt.

\( {\color {Red} {f\,^{(n)}(x)}} \; \) betecknar den \( \, {\color {Red} n}\)-te derivatan av funktionen \( y = f(x) \). För \( n > 3 \) skrivs \( \, n \, \) (derivatans grad) med romerska siffror.

   
Svar 8
3.4 Svar 7
Lösning 8
3.4 Lösning 7


Övning 9

Ställ upp en 3:e gradsfunktion som går genom origo och har:

a)   Endast en kritisk punkt.

b)   Exakt två kritiska punkter.

c)   Ingen kritisk punkt alls.

d)   Visualisera dina resultat genom att rita graferna till funktionerna ovan samt deras derivator.

Svar 9a
3.4 Svar 7a
Lösning 9a
3.4 Lösning 7a
Svar 9b
3.4 Svar 7b
Lösning 9b
3.4 Lösning 7b
Svar 9c
3.4 Svar 7c
Lösning 9c
3.4 Lösning 7c
Lösning 9d
3.4 Lösning 7d


Övning 10

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, x^2 \, (x + 1) \, (2\,x + 5) + 1 \]

a)   Bestäm funktionens alla ev. lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter och ange deras koordinater.

b)   Hitta funktionens alla inflexionspunkter samt deras koordinater.

c)   Rita grafen till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.

Markera inflexionspunkterna i båda graferna.
Förklara varför derivatan har sina extrema i funktionens inflexionspunkter.

Ange alla numeriska svar med tre decimaler.

Svar 10a
3.4 Svar 8a
Lösning 10a
3.3 Lösning 8a
Svar 10b
3.4 Svar 8b
Lösning 10b
3.3 Lösning 8b
Lösning 10c
3.4 Lösning 8c





Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=3.4_Övningar_till_Kurvkonstruktioner&oldid=27455"