Skillnad mellan versioner av "1.1 Övningar till Polynom"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Övning 1)
m
 
(303 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.2 Polynom|Teori]]}}
+
<!-- {{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| <<&nbsp;&nbsp;Repetitioner]]}} -->
−
{{Selected tab|[[1.2 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|Genomgång]]}}
 +
{{Selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3.pdf|Formelsamling Matte 3]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
== G-övningar: 1-6 ==
+
<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-6</span></Big></Big></Big>
  
−
== Övning 1 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Två polynom är givna: <math> P_1(x) = 3\,x - 5 </math> och <math> P_2(x) = - 8\,x - 6 </math>. Bilda deras
 
−
 
−
:a) summa
 
  
−
:b) differens
+
== <b>Övning 1</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Två förstagradspolynom är givna:
  
−
:c) produkt
+
:::<math> 3\,x - 5 \qquad {\rm och} \qquad - 8\,x - 6 </math>
  
−
:d) kvot
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>Bilda deras
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.2 Svar 1a|Lösning 1a|1.2 Lösning 1a|Svar 1b|1.2 Svar 1b|Lösning 1b|1.2 Lösning 1b|Svar 1c|1.2 Svar 1c|Lösning 1c|1.2 Lösning 1c|Svar 1d|1.2 Svar 1d|Lösning 1d|1.2 Lösning 1d}}
 
  
−
== Övning 2 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Sätt de osynliga parenteserna på rätt plats i uttrycken i övning 1 utan att ändra dem. Dvs uttrycken med parentes ska vara identiska med uttrycken utan parentes.
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.2 Svar 2a|Svar 2b|1.2 Svar 2b|Svar 2c|1.2 Svar 2c|Svar 2d|1.2 Svar 2d}}
+
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math> a) &nbsp; summa
  
−
== Övning 3 ==
+
<math> \qquad </math> c) &nbsp; produkt
−
<div class="ovning">
+
</td>
−
Anta att uttrycket <math>\displaystyle 12+18/9-6</math> från övning 1 d) är givet.
+
  <td><math> \qquad </math> b) &nbsp; differens
  
−
a) Skriv om divisionen i uttrycket ovan till en division med bråkstreck.
+
<math> \qquad </math> d) &nbsp; kvot.
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
b) I övning 2 skrev du de osynliga parenteserna bl.a. i uttrycket ovan så att du fick en annan form på samma uttryck.  
+
Förenkla så mycket som möjligt.
  
−
Nu ska du bilda ett nytt uttryck genom att i uttrycket ovan sätta parenteser (som ej kan utelämnas) så att det nya uttrycket blir identiskt med <math>{12+18 \over 9-6}</math>.
+
Ange varje gång om resultatet är ett polynom.  
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.2 Svar 3a|Svar 3b|1.2 Svar 3b}}
+
I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.2 Svar 1a|Lösning 1a|1.2 Lösning 1a|Svar 1b|1.2 Svar 1b|Lösning 1b|1.2 Lösning 1b|Svar 1c|1.2 Svar 1c|Lösning 1c|1.2 Lösning 1c|Svar 1d|1.2 Svar 1d|Lösning 1d|1.1 Lösning 1d}}</div>
  
−
== Övning 4 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Beräkna utan räknare och kontrollera ditt resultat med räknaren:
 
  
−
<math>\textrm a)\;\;\; 5 + 3 \cdot 8 - 6 </math>
+
== <b>Övning 2</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Gör samma sak som i övning 1 med andragradspolynomen
  
−
<math>\textrm b)\;\;\; (5+3) \cdot (8-6) </math>
+
::<math> 4\,x^2 - 7\,x + 2 \qquad {\rm och} \qquad -4\,x^2 - 5\,x </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.2 Svar 4a|Lösning 4a|1.2 Lösning 4a|Svar 4b|1.2 Svar 4b|Lösning 4b|1.2 Lösning 4b}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.2 Svar 2a|Lösning 2a|1.2 Lösning 2a|Svar 2b|1.2 Svar 2b|Lösning 2b|1.2 Lösning 2b|Svar 2c|1.2 Svar 2c|Lösning 2c|1.2 Lösning 2c|Svar 2d|1.2 Svar 2d|Lösning 2d|1.2 Lösning 2d}}</div>
  
−
== Övning 5 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Sätt de osynliga multiplikationstecknen och beräkna sedan uttrycken:
 
  
−
<math>\textrm a)\;\;\; 3\,(6-4) + 2\,(5-2)</math>
+
== <b>Övning 3</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Följande uttryck är givet:
  
−
<math>\textrm b)\;\;\; 6\,(3 + 1 \cdot 2) - 4 \cdot 5 </math>
+
::<math> P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.2 Svar 5a|Lösning 5a|1.2 Lösning 5a|Svar 5b|1.2 Svar 5b|Lösning 5b|1.2 Lösning 5b}}
+
a) &nbsp; Utveckla <math> P(x)\, </math> till ett polynom.
  
−
== Övning 6 ==
+
b) &nbsp; Använd polynomet från a) för att beräkna <math> P(-1)\, </math>.
−
<div class="ovning">
+
−
Beräkna <math> {4 \cdot 6 \over 7 + 5} </math>
+
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6|1.2 Svar 6|Lösning 6|1.2 Lösning 6}}
+
c) &nbsp; Bestäm alla [http://90.224.99.82:8080/minidemo/index.php/1.1_Polynom#Ett_polynoms_nollst.C3.A4llen_.28r.C3.B6tter.29 nollställen] till <math> P(x)\, </math>.
  
−
== VG-övningar: 7-9 ==
+
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.2 Svar 3a|Lösning 3a|1.2 Lösning 3a|Svar 3b|1.2 Svar 3b|Lösning 3b|1.2 Lösning 3b|Svar 3c|1.2 Svar 3c|Lösning 3c|1.2 Lösning 3c}}</div>
  
−
== Övning 7 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Följande två polynom är givna:
 
  
−
<math> U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x </math>
+
== <b>Övning 4</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:
  
−
<math> U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 </math>
+
a) &nbsp; <math> \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 </math>
  
−
Utveckla polynomet <math> \displaystyle U_5(x) </math> med hjälp av formeln:
+
b) &nbsp; Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för <math> x = -2\, </math>.
  
−
<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math>
+
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.2 Svar 4a|Lösning 4a|1.2 Lösning 4a|Svar 4b|1.2 Svar 4b|Lösning 4b|1.2 Lösning 4b}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.2 Svar 7|Lösning 7|1.2 Lösning 7}}
 
  
−
== Övning 8 ==
+
== <b>Övning 5</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
−
Beräkna <math> 19 - 4 \, (4 - 2) + {18+6 \over 4} \cdot {12 \over 3} </math>
+
En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen:
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 8|1.2 Svar 8|Lösning 8|1.2 Lösning 8}}
+
::<math> y = 90\,x - 4,9\,x^2 </math>
  
−
== Övning 9 ==
+
där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.
−
<div class="ovning">
+
−
Ett taxibolag tar en framkörningsavgift på 25 kr.
+
  
−
Därefter kostar det 10 kr per km att åka med bolagets taxi.
+
a) &nbsp; Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.
  
−
Skriv ett uttryck för det belopp man måste betala när man åker 20 km.
+
b) &nbsp; Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.
  
−
Skriv uttrycket både med och utan parenteser. Beräkna sedan uttrycket.
+
{{#NAVCONTENT:Svar & lösning 5a|1.2 Lösning 5a|Svar 5b|1.2 Svar 5b|Lösning 5b|1.2 Lösning 5b}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 9|1.2 Svar 9}}
 
  
−
== MVG-övningar: 10-11 ==
+
== <b>Övning 6</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:
  
−
== Övning 10 ==
+
a) &nbsp; Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.
−
<div class="ovning">
+
−
Hitta det värde på a för vilket följande uttryckets värde blir 0 :
+
  
−
<math> 10 - {6 \cdot (6-2) \over 3} - {3 \cdot (5 - 4) + 3 \over a-2} </math>
+
b) &nbsp; Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 10|1.2 Svar 10|Lösning 10|1.2 Lösning 10}}
+
c) &nbsp; När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.  
  
−
== Övning 11 ==
+
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.2 Svar 6a|Lösning 6a|1.1 Lösning 6a|Svar 6b|1.2 Svar 6b|Lösning 6b|1.2 Lösning 6b|Svar 6c|1.2 Svar 6c|Lösning 6c|1.2 Lösning 6c}}</div>
−
<div class="ovning">
+
−
Anta att följande uttryck är givet: <math> { 87+13 \over (x+9)/5 } </math>  
+
  
−
a) Hitta ett positivt heltal för x så att uttryckets värde blir störst.
 
  
−
b) Beräkna detta maximala värde.
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 11a|1.2 Svar 11a|Lösning 11a|1.2 Lösning 11a|Svar 11b|1.2 Svar 11b|Lösning 11b|1.2 Lösning 11b}}
+
 
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 7-10</span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 7</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Följande två [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Chebyshevpolynom_.5C.28-.5C.29_en_familj_av_h.C3.B6gre_grads_polynomfunktioner|<b><span style="color:blue">Chebyshevpolynom</span></b>]] är givna:
 +
 
 +
::<math> U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x </math>
 +
 
 +
::<math> U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 </math>
 +
 
 +
Utveckla <math> \displaystyle U_5(x) </math> med hjälp av Chebyshevpolynomens rekursionsformel:
 +
 
 +
::<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math>
 +
 
 +
Tips: Se [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Chebyshevpolynom_.5C.28-.5C.29_en_familj_av_h.C3.B6gre_grads_polynomfunktioner|<b><span style="color:blue">Exempel på beräkning av Chebyshevpolynom</span></b>]], där <math> \, U_4(x) \, </math> beräknas utgående från <math> \, U_2(x) \, </math> och <math> \, U_3(x) \, </math> med hjälp av rekursionsformeln.
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.2 Svar 7|Lösning 7|1.2 Lösning 7}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 8</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna:
 +
 
 +
::<math> \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 </math>
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8|1.2 Svar 8|Lösning 8|1.2 Lösning 8}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 9</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan:
 +
 
 +
::<math> 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 </math>
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Lösning 9|1.2 Svar 9}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 10</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Två polynom är givna:
 +
 
 +
::<math> P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b </math>
 +
 
 +
::<math> Q(x) = 4 \cdot x - 6 </math>
 +
 
 +
För vilka värden av <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är <math> P(x) = Q(x)\, </math>? Använd jämförelse av koefficienter.
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 10|1.2 Svar 10|Lösning 10|1.2 Lösning 10}}</div>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 11-12</span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 11</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Följande 2:a gradspolynom är givet:
 +
 
 +
::<math> P(x) = x^2 - 10\,x + 16 </math>
 +
 
 +
a) &nbsp; Utveckla uttrycket <math> Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) </math> till ett polynom. Bestäm <math> a\, </math> och <math> b\, </math> så att <math> P(x) = Q(x)\, </math>. Använd jämförelse av koefficienter.
 +
 
 +
b) &nbsp; Visa att de värden du får för <math> a\, </math> och <math> b\, </math> i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:
 +
 
 +
::<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math>
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 11a|1.2 Svar 11a|Lösning 11a|1.2 Lösning 11a|Svar & lösning 11b|1.2 Lösning 11b}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 12</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Visa att 2:a gradspolynomet <math> P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 </math> kan skrivas som
 +
 
 +
::<math> (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) </math>
 +
 
 +
vilket innebär en faktorisering av polynomet <math> P(x)\, </math>. Bestäm a, b, c och d genom att:
 +
 
 +
a) &nbsp; Hitta först polynomet <math> P(x)\, </math>:s nollställen (rötter) <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> exakt, dvs bibehåll bråkformen.
 +
 
 +
b) &nbsp; Sätt sedan <math> P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)  </math> och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.2 Svar 12a|Lösning 12a|1.2 Lösning 12a|Svar 12b|1.2 Svar 12b|Lösning 12b|1.2 Lösning 12b}}</div>
 +
 
 +
 
 +
<!--
 +
<Big><Big><Big><span style="color:blue"><u>Facit</u></span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== 1a) ==
 +
<math> - 5\,x - 11 </math>
 +
 
 +
Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11.
 +
 
 +
== 1b) ==
 +
<math> 11\,x + 1 </math>
 +
 
 +
Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1.
 +
 
 +
== 1c) ==
 +
<math> -24\,x^2\,+\,22\,x\,+\,30 </math>
 +
 
 +
Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30.
 +
 
 +
== 1d) ==
 +
<math> {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} </math>
 +
 
 +
Inget polynom.
 +
 
 +
== 2a) ==
 +
<math> - 12\,x + 2</math>
 +
 
 +
Polynom av grad 1. Koefficienter är -12 och 2.
 +
 
 +
== 2b) ==
 +
<math> 8\,x^2 - 2\,x + 2 </math>
 +
 
 +
Polynom av grad 2. Koefficienter: 8, -2 och 2.
 +
 
 +
== 2c) ==
 +
<math> -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x </math>
 +
 
 +
Polynom av grad 4. Koefficienter: -16, 8, 27 och -10.
 +
 
 +
== 2d) ==
 +
<math> {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} </math>
 +
 
 +
Inget polynom.
 +
 
 +
== 3a) ==
 +
<math> P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x </math>
 +
 
 +
== 3b) ==
 +
<math> \displaystyle -19 </math>
 +
 
 +
== 3c) ==
 +
<math> \displaystyle x_1 = 0 </math>
 +
 
 +
<math> \displaystyle x_2 = -10,5 </math>
 +
 
 +
== 4a) ==
 +
<math> 2\,x^2 - 2\,x + 5 </math>
 +
 
 +
== 4b) ==
 +
<math> \displaystyle 17 </math>
 +
 
 +
== 5a) ==
 +
Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen
 +
 
 +
<math> y = f\,(x) = 90\,x - 4,9\,x^2 </math>
 +
 
 +
och får
 +
 
 +
<math> f(2,586) = 90 \cdot 2,586 - 4,9 \cdot 2,586\,^2 = 199,97 </math>
 +
 
 +
vilket avrundat till hela meter ger 200 m.
 +
 
 +
Samma sak görs med den andra tiden 15,781 sekunder:
 +
 
 +
<math> f(15,781) = 90 \cdot 15,781 - 4,9 \cdot 15,781\,^2 = 199,99 </math>
 +
 
 +
Även detta ger avrundat 200 m.
 +
 
 +
== 5b) ==
 +
<math> \displaystyle 413 \; \rm m </math>
 +
 
 +
== 6a) ==
 +
Xmin = 0
 +
 
 +
Xmax = 20
 +
 
 +
Xscl = 2
 +
 
 +
Ymin = 0
 +
 
 +
Ymax = 420
 +
 
 +
Yscl = 50
 +
 
 +
== 6b) ==
 +
[[Image: Uppg_6b_Raket_70.jpg]]
 +
 
 +
== 6c) ==
 +
18,367 sekunder efter starten.
 +
 
 +
== 7) ==
 +
<math> U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x </math>
 +
 
 +
== 8) ==
 +
<math> 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 </math>
 +
 
 +
== 9) ==
 +
Påstående:
 +
 
 +
<math> \displaystyle 2(x^2 - 1)^2 + (x + 2)(x^3 - 2) - 2x + x^2 - 1 = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 3 </math>
 +
 
 +
Bevis:
 +
 
 +
<big>VL</big> = <math> 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
 +
 
 +
= <math> 2\,(x^4 - 2\,x^2 + 1) + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
 +
 
 +
= <math> 2\,x^4 - 4\,x^2 + 2 + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>
 +
 
 +
= <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>
 +
 
 +
<big>HL</big> = <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>
 +
 
 +
<big>VL = HL</big> <math> \Rightarrow </math> påståendet är bevisat.
 +
 
 +
== 10) ==
 +
<math> a = 2\, </math>
 +
 
 +
<math> b = 3\, </math>
 +
 
 +
== 11a) ==
 +
<math> Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b </math>
 +
 
 +
<math> a = 2\, </math>
 +
 
 +
<math> b = 8\, </math>
 +
 
 +
== 11b) ==
 +
2 och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen:
 +
 
 +
:<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math>
 +
 
 +
Prövning för 2:
 +
 
 +
VL: <math> 2^2 - 10\cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 </math>
 +
 
 +
HL: <math> 0 </math>
 +
 
 +
VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 2 är en lösning.
 +
 
 +
Prövning för 8:
 +
 
 +
VL: <math> 8^2 - 10\cdot 8 + 16 = 64 - 80 + 16 = 0 </math>
 +
 
 +
HL: <math> 0 </math>
 +
 
 +
VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 8 är en lösning.
 +
 
 +
== 12a) ==
 +
<math> x_1\, = {1 \over 8} </math>
 +
 
 +
<math> x_2\, = -1 </math>
 +
 
 +
== 12b) ==
 +
<math> k\, = 8 </math>
 +
 
 +
<math> a\, = 8 </math>
 +
 
 +
<math> b\, = -1 </math>
 +
 
 +
<math> c\, = 1 </math>
 +
 
 +
<math> d\, = 1 </math>
 +
-->
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 30 januari 2019 kl. 15.15

       Genomgång          Övningar          Formelsamling Matte 3          Fördjupning          Nästa demoavsnitt  >>      


E-övningar: 1-6


Övning 1

Två förstagradspolynom är givna:

\[ 3\,x - 5 \qquad {\rm och} \qquad - 8\,x - 6 \]
Bilda deras


\( \qquad \) a)   summa

\( \qquad \) c)   produkt

\( \qquad \) b)   differens

\( \qquad \) d)   kvot.

Förenkla så mycket som möjligt.

Ange varje gång om resultatet är ett polynom.

I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.

Svar 1a
1.2 Svar 1a
Lösning 1a
1.2 Lösning 1a
Svar 1b
1.2 Svar 1b
Lösning 1b
1.2 Lösning 1b
Svar 1c
1.2 Svar 1c
Lösning 1c
1.2 Lösning 1c
Svar 1d
1.2 Svar 1d
Lösning 1d
1.1 Lösning 1d


Övning 2

Gör samma sak som i övning 1 med andragradspolynomen

\[ 4\,x^2 - 7\,x + 2 \qquad {\rm och} \qquad -4\,x^2 - 5\,x \]
Svar 2a
1.2 Svar 2a
Lösning 2a
1.2 Lösning 2a
Svar 2b
1.2 Svar 2b
Lösning 2b
1.2 Lösning 2b
Svar 2c
1.2 Svar 2c
Lösning 2c
1.2 Lösning 2c
Svar 2d
1.2 Svar 2d
Lösning 2d
1.2 Lösning 2d


Övning 3

Följande uttryck är givet:

\[ P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) \]

a)   Utveckla \( P(x)\, \) till ett polynom.

b)   Använd polynomet från a) för att beräkna \( P(-1)\, \).

c)   Bestäm alla nollställen till \( P(x)\, \).

Svar 3a
1.2 Svar 3a
Lösning 3a
1.2 Lösning 3a
Svar 3b
1.2 Svar 3b
Lösning 3b
1.2 Lösning 3b
Svar 3c
1.2 Svar 3c
Lösning 3c
1.2 Lösning 3c


Övning 4

Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:

a)   \( \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 \)

b)   Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för \( x = -2\, \).

Svar 4a
1.2 Svar 4a
Lösning 4a
1.2 Lösning 4a
Svar 4b
1.2 Svar 4b
Lösning 4b
1.2 Lösning 4b


Övning 5

En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen:

\[ y = 90\,x - 4,9\,x^2 \]

där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.

a)   Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.

b)   Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.

Svar & lösning 5a
1.2 Lösning 5a
Svar 5b
1.2 Svar 5b
Lösning 5b
1.2 Lösning 5b


Övning 6

Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:

a)   Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.

b)   Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.

c)   När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.

Svar 6a
1.2 Svar 6a
Lösning 6a
1.1 Lösning 6a
Svar 6b
1.2 Svar 6b
Lösning 6b
1.2 Lösning 6b
Svar 6c
1.2 Svar 6c
Lösning 6c
1.2 Lösning 6c



C-övningar: 7-10


Övning 7

Följande två Chebyshevpolynom är givna:

\[ U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x \]
\[ U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \]

Utveckla \( \displaystyle U_5(x) \) med hjälp av Chebyshevpolynomens rekursionsformel:

\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]

Tips: Se Exempel på beräkning av Chebyshevpolynom, där \( \, U_4(x) \, \) beräknas utgående från \( \, U_2(x) \, \) och \( \, U_3(x) \, \) med hjälp av rekursionsformeln.

Svar 7
1.2 Svar 7
Lösning 7
1.2 Lösning 7


Övning 8

Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna:

\[ \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 \]
Svar 8
1.2 Svar 8
Lösning 8
1.2 Lösning 8


Övning 9

Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan:

\[ 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 \]
Lösning 9
1.2 Svar 9


Övning 10

Två polynom är givna:

\[ P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b \]
\[ Q(x) = 4 \cdot x - 6 \]

För vilka värden av \( a\, \) och \( b\, \) är \( P(x) = Q(x)\, \)? Använd jämförelse av koefficienter.

Svar 10
1.2 Svar 10
Lösning 10
1.2 Lösning 10



A-övningar: 11-12


Övning 11

Följande 2:a gradspolynom är givet:

\[ P(x) = x^2 - 10\,x + 16 \]

a)   Utveckla uttrycket \( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) \) till ett polynom. Bestäm \( a\, \) och \( b\, \) så att \( P(x) = Q(x)\, \). Använd jämförelse av koefficienter.

b)   Visa att de värden du får för \( a\, \) och \( b\, \) i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:

\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]
Svar 11a
1.2 Svar 11a
Lösning 11a
1.2 Lösning 11a
Svar & lösning 11b
1.2 Lösning 11b


Övning 12

Visa att 2:a gradspolynomet \( P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 \) kan skrivas som

\[ (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) \]

vilket innebär en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \). Bestäm a, b, c och d genom att:

a)   Hitta först polynomet \( P(x)\, \):s nollställen (rötter) \( x_1\, \) och \( x_2\, \) exakt, dvs bibehåll bråkformen.

b)   Sätt sedan \( P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \) och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.

Svar 12a
1.2 Svar 12a
Lösning 12a
1.2 Lösning 12a
Svar 12b
1.2 Svar 12b
Lösning 12b
1.2 Lösning 12b






Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.1_Övningar_till_Polynom&oldid=28336"