Skillnad mellan versioner av "1.3 Övningar till Polynom i faktorform"

Om

\[ x^3 - 5\,x^2 + 12\,x - 6 = (x-2) \cdot {\rm (ett\ polynom)} \]

vad är då graden till det okända polynomet?

Vi har:

\[ 4\,x^2 + 16\,x - 8 = (x+3) \cdot {\rm (ett\ polynom)} \]

a) Vad är graden till det okända polynomet?

b) Vad är koefficienten till x-termen i det okända polynomet?

Ange ett polynom i faktorform vars nollställen är:

a) 2 och 6

b) -2, och -6

c) 1, -5 och 4

Ange nollställen till följande polynom:

a) \( (x-2) \cdot (x+1) \)

b) \( (3\,x-1) \cdot (2\,x+1) \)

Grafen till en polynomfunktion ser ut så här:

a) Ange några exempel på polynom i faktorform vars nollställen är identiska med kurvans nollställen.

b) Ange det polynom i faktorform vars graf är kurvan ovan.

Faktorisera polynomen

a) \( x^2 - 6\,x + 8 \)

b) \( 3\,x^2 + 3\,x - 6 \)

c) \( 4\,x^2 - 36 \)

Följande två polynom är givna\[ U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x \]

\( U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \)

Utveckla polynomet \( \displaystyle U_5(x) \) med hjälp av formeln\[ U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \]

Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna\[ \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 \]

Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan\[ 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 \]

Två polynom är givna\[ P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b \]

\( Q(x) = 4 \cdot x - 6 \)

För vilka värden av \( a\, \) och \( b\, \) är \( P(x) = Q(x)\, \)?

Följande 2:a gradspolynom är givet:

\[ P(x) = x^2 - 10\,x + 16 \]

a) Utveckla uttrycket \( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) \) till ett polynom. Bestäm \( a\, \) och \( b\, \) så att \( P(x) = Q(x)\, \). Använd jämförelse av koefficienter.

b) Visa att de värden du får för \( a\, \) och \( b\, \) i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:

\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]

Visa att 2:a gradspolynomet \( P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 \) kan skrivas som

\[ (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) \]

vilket innebär en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \). Bestäm a, b, c och d genom att:

a) Hitta först polynomet \( P(x)\, \):s rötter \( x_1\, \) och \( x_2\, \) exakt, dvs bibehåll bråkformen.

b) Sätt sedan \( P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \) och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.