2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
E-övningar: 1-6 \( \qquad\qquad\qquad\quad \) Anta alltid: \( \; \quad y \; = \; f(x)\, \)
Övning 1
Marie startar kl \( 10.30 \, \) med sin bil från Stockholm mot Göteborg. Hon kommer fram där kl \( 15.15 \).
Avståndet mellan Stockholm och Göteborg är \( \, 478 \) km.
Definiera \( \, x \, \) som tiden i timmar och \( \, y \, \) som sträckan i km. Betrakta \( y\, \) som en funkion av \( x\, \).
Vad är \( \Delta x\, \) och \( \Delta y\, \) ?
Vad är Maries genomsnittliga hastighet i hela km/h?
Uttryck ditt svar med hjälp av \( \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, \).
Hämtar...
Övning 2
Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten för följande funktioner i de angivna intervallen.
Svara med 6 decimaler.
a) \( y = 5\,x + 23 \) i intervallet \( 2 \leq x \,\leq\, 3 \)
b) \( y = -3\,x^2 + 2\,x - 12 \) i intervallet \( -2 \leq x \,\leq\, 2 \)
c) \( y = e\,^x \) i intervallet \( -1 \leq x \,\leq\, 1 \)
d) \( y = e\,^x \) i intervallet \( -0,1 \leq x \,\leq\, 0,1 \)
e) \( y = e\,^x \) i intervallet \( -0,01 \leq x \,\leq\, 0,01 \)
f) \( y = e\,^x \) i intervallet \( -0,001 \leq x \,\leq\, 0,001 \)
Övning 3
Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen
- \[ y \, = \, 5,1\;x^2 \]
där \( \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder} \)
- \[ y \, = \, {\rm Sträckan\;som\;äpplet\;faller\;i\;meter} \]
Beräkna äpplets genomsnittliga hastighet i tidsintervallet mellan 0,2 och 0,3 sekunder.
Övning 4
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen
- \[ y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 \]
där \( \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} \)
- \[ y \, = \, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;miljoner} \]
a) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under hela seklet.
b) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets första decennium.
c) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets sista decennium.
d) Är följande påstående sant eller falskt?
- "Anledningen till att a)-c) ger samma resultat är att modellen som beskriver Sveriges befolkningsutveckling, är en linjär funktion.
- Linjära funktioner har samma genomsnittliga förändringshastighet i alla intervall på x-axeln."
- Motivera ditt svar.
C-övningar: 5-6
Övning 5
I genomgången, Exempel 3, betraktade vi följande problem:
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
- \[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]
där \( \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)
- \[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]
Läs igenom lösningarna a) - d) i Exempel 3 och besvara följande fråga:
e) Bestäm \( a\, \) i intervallet \( 0 \leq x \,\leq\, a \) där oljans genomsnittliga utströmningshastighet är \( - 260\, \).
Övning 6
Följande utdrag ur Skatteverkets skattetabell för 2014 (kolumn 2) visar hur skatten ökar med månadslönen:
\( x\, \) \( y\, \) \( 22\,801-23\,000 \) \( 5\,302 \) \( 23\,001-23\,200 \) \( 5\,365 \) \( 23\,201-23\,400 \) \( 5\,427 \) \( 23\,401-23\,600 \) \( 5\,490 \) \( 23\,601-23\,800 \) \( 5\,553 \) \( 23\,801-24\,000 \) \( 5\,616 \) \( 24\,001-24\,200 \) \( 5\,681 \) \( 24\,201-24\,400 \) \( 5\,744 \) \( 24\,401-24\,600 \) \( 5\,807 \) \( 24\,601-24\,800 \) \( 5\,870 \)
där \( \; \quad x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} \)
- \[ y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} \]
Åsa får en lönehöjning. Hennes månadslön ökar från \( 23\,150 \) kr till \( 24\,700 \).
a) Bestäm \( \Delta x\, \) för Åsa.
b) Bestäm \( \Delta y\, \) för Åsa.
c) Ange Åsas marginalskatt i procent.
Dvs beräkna \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \) för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön.
Avrunda svaret till en decimal.
A-övningar: 7-8
Övning 7
Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen
- \[ y \, = \, f\,(x) \, = \, x^2 \]
i intervallet \( \; a \,\leq\, x \,\leq\, a + h \).
Förenkla uttrycket i \( a\, \) och \( h\, \) så långt som möjligt.
Övning 8
Följande polynomfunktion är given:
\[ y \,=\, f\,(x) \,=\, 2\,x^2 - 5\,x + 32 \]
a) Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan \( x\, \) och \( x + h\, \). Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
b) Låt i uttrycket från a) gå \( h\, \) mot 0 så att du får ett uttryck endast i \( x\, \). Ange detta uttryck.
c) Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för \( x = 2\, \). Tolka ditt resultat.
Copyright © 2011-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
