Skillnad mellan versioner av "2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (15 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata|< | + | {{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata| << Förra avsnitt]]}} |
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}} | {{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}} | ||
{{Selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}} | {{Selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}} | ||
| − | + | {{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Nästa avsnitt >> ]]}} | |
| − | + | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| − | < | + | <big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-6</span> <math> \qquad\qquad\qquad\quad </math> <small> Anta alltid<span style="color:black">:</span> <math> \; \quad y \; = \; f(x)\, </math> </small> </big></big></big> |
| + | == <b>Övning 1</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Marie startar kl <math> 10.30 \, </math> med sin bil från Stockholm mot Göteborg. Hon kommer fram där kl <math> 15.15 </math>. | Marie startar kl <math> 10.30 \, </math> med sin bil från Stockholm mot Göteborg. Hon kommer fram där kl <math> 15.15 </math>. | ||
| Rad 27: | Rad 26: | ||
Uttryck ditt svar med hjälp av <math> \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, </math>. | Uttryck ditt svar med hjälp av <math> \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, </math>. | ||
| − | |||
{{#NAVCONTENT:Svar 1|2.2 Svar 1|Lösning 1|2.2 Lösning 1}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 1|2.2 Svar 1|Lösning 1|2.2 Lösning 1}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 2</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | + | Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten för följande funktioner i de angivna intervallen. | |
| − | Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten för följande funktioner i de angivna intervallen. Svara med 6 decimaler. | + | |
| + | Svara med 6 decimaler. | ||
a) <math> y = 5\,x + 23 </math> i intervallet <math> 2 \leq x \,\leq\, 3 </math> | a) <math> y = 5\,x + 23 </math> i intervallet <math> 2 \leq x \,\leq\, 3 </math> | ||
| Rad 46: | Rad 46: | ||
f) <math> y = e\,^x </math> i intervallet <math> -0,001 \leq x \,\leq\, 0,001 </math> | f) <math> y = e\,^x </math> i intervallet <math> -0,001 \leq x \,\leq\, 0,001 </math> | ||
| − | |||
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.2 Svar 2a|Lösning 2a|2.2 Lösning 2a|Svar 2b|2.2 Svar 2b|Lösning 2b|2.2 Lösning 2b|Svar 2c|2.2 Svar 2c|Lösning 2c|2.2 Lösning 2c|Svar 2d|2.2 Svar 2d|Lösning 2d|2.2 Lösning 2d|Svar 2e|2.2 Svar 2e|Lösning 2e|2.2 Lösning 2e|Svar 2f|2.2 Svar 2f|Lösning 2f|2.2 Lösning 2f}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.2 Svar 2a|Lösning 2a|2.2 Lösning 2a|Svar 2b|2.2 Svar 2b|Lösning 2b|2.2 Lösning 2b|Svar 2c|2.2 Svar 2c|Lösning 2c|2.2 Lösning 2c|Svar 2d|2.2 Svar 2d|Lösning 2d|2.2 Lösning 2d|Svar 2e|2.2 Svar 2e|Lösning 2e|2.2 Lösning 2e|Svar 2f|2.2 Svar 2f|Lösning 2f|2.2 Lösning 2f}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 3</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen | Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen | ||
| Rad 60: | Rad 59: | ||
Beräkna äpplets genomsnittliga hastighet i tidsintervallet mellan 0,2 och 0,3 sekunder. | Beräkna äpplets genomsnittliga hastighet i tidsintervallet mellan 0,2 och 0,3 sekunder. | ||
| − | |||
{{#NAVCONTENT:Svar 3|2.2 Svar 3|Lösning 3|2.2 Lösning 3}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 3|2.2 Svar 3|Lösning 3|2.2 Lösning 3}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 4</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen | Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen | ||
| Rad 87: | Rad 85: | ||
:Motivera ditt svar. | :Motivera ditt svar. | ||
| − | |||
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.2 Svar 4a|Lösning 4a|2.2 Lösning 4a|Svar 4b|2.2 Svar 4b|Lösning 4b|2.2 Lösning 4b|Svar 4c|2.2 Svar 4c|Lösning 4c|2.2 Lösning 4c|Svar 4d|2.2 Svar 4d|Lösning 4d|2.2 Lösning 4d}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.2 Svar 4a|Lösning 4a|2.2 Lösning 4a|Svar 4b|2.2 Svar 4b|Lösning 4b|2.2 Lösning 4b|Svar 4c|2.2 Svar 4c|Lösning 4c|2.2 Lösning 4c|Svar 4d|2.2 Svar 4d|Lösning 4d|2.2 Lösning 4d}}</div> | ||
| Rad 96: | Rad 93: | ||
| + | == <b>Övning 5</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | + | I genomgången, Exempel 3, betraktade vi följande problem: | |
| − | I genomgången, Exempel | + | |
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen: | En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen: | ||
| Rad 107: | Rad 104: | ||
:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math> | :::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math> | ||
| − | Läs igenom lösningarna '''a)''' - '''d)''' i [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet# | + | Läs igenom lösningarna '''a)''' - '''d)''' i [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_3_Oljetank|<strong><span style="color:blue">Exempel 3</span></strong>]] och besvara följande fråga: |
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | '''e)''' Bestäm <math> a\, </math> i intervallet <math> 0 \leq x \,\leq\, a </math> där oljans genomsnittliga utströmningshastighet är <math> - 260\, </math>. | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 5e|2.2 Svar 5e|Lösning 5e|2.2 Lösning 5e}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 5e|2.2 Svar 5e|Lösning 5e|2.2 Lösning 5e}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 6</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | + | Följande utdrag ur [https://www.skatteverket.se/download/18.4a47257e143e26725ae1435/1391609286021/manadslon_tabell29.pdf <strong><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></strong>] för 2014 (kolumn 2) visar hur skatten ökar med månadslönen: | |
| − | Följande utdrag ur [https://www.skatteverket.se/download/18.4a47257e143e26725ae1435/1391609286021/manadslon_tabell29.pdf <strong><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></strong>] för 2014 ( | + | |
::{| class="wikitable" | ::{| class="wikitable" | ||
| Rad 142: | Rad 138: | ||
| align=center| <math> 24\,601-24\,800 </math> ||align=center| <math> 5\,870 </math> | | align=center| <math> 24\,601-24\,800 </math> ||align=center| <math> 5\,870 </math> | ||
|} | |} | ||
| − | där <math> | + | där <math> \; \quad x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math> |
:::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math> | :::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math> | ||
| Rad 154: | Rad 150: | ||
c) Ange Åsas marginalskatt i procent. | c) Ange Åsas marginalskatt i procent. | ||
| − | Dvs beräkna <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} </math> för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön | + | Dvs beräkna <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} </math> för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön. |
| + | Avrunda svaret till en decimal. | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.2 Svar 6a|Lösning 6a|2.2 Lösning 6a|Svar 6b|2.2 Svar 6b|Lösning 6b|2.2 Lösning 6b|Svar 6c|2.2 Svar 6c|Lösning 6c|2.2 Lösning 6c}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.2 Svar 6a|Lösning 6a|2.2 Lösning 6a|Svar 6b|2.2 Svar 6b|Lösning 6b|2.2 Lösning 6b|Svar 6c|2.2 Svar 6c|Lösning 6c|2.2 Lösning 6c}}</div> | ||
| Rad 164: | Rad 161: | ||
| + | == <b>Övning 7</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen | Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen | ||
:::::::<math> y \, = \, f\,(x) \, = \, x^2 </math> | :::::::<math> y \, = \, f\,(x) \, = \, x^2 </math> | ||
| − | i intervallet <math> | + | i intervallet <math> \; a \,\leq\, x \,\leq\, a + h </math>. |
Förenkla uttrycket i <math> a\, </math> och <math> h\, </math> så långt som möjligt. | Förenkla uttrycket i <math> a\, </math> och <math> h\, </math> så långt som möjligt. | ||
| − | |||
{{#NAVCONTENT:Svar 7|2.2 Svar 7|Lösning 7|2.2 Lösning 7}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 7|2.2 Svar 7|Lösning 7|2.2 Lösning 7}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 8</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
Följande polynomfunktion är given: | Följande polynomfunktion är given: | ||
| Rad 256: | Rad 252: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011- | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 15 oktober 2017 kl. 15.33
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
E-övningar: 1-6 \( \qquad\qquad\qquad\quad \) Anta alltid: \( \; \quad y \; = \; f(x)\, \)
Övning 1
Marie startar kl \( 10.30 \, \) med sin bil från Stockholm mot Göteborg. Hon kommer fram där kl \( 15.15 \).
Avståndet mellan Stockholm och Göteborg är \( \, 478 \) km.
Definiera \( \, x \, \) som tiden i timmar och \( \, y \, \) som sträckan i km. Betrakta \( y\, \) som en funkion av \( x\, \).
Vad är \( \Delta x\, \) och \( \Delta y\, \) ?
Vad är Maries genomsnittliga hastighet i hela km/h?
Uttryck ditt svar med hjälp av \( \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, \).
Hämtar...
Övning 2
Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten för följande funktioner i de angivna intervallen.
Svara med 6 decimaler.
a) \( y = 5\,x + 23 \) i intervallet \( 2 \leq x \,\leq\, 3 \)
b) \( y = -3\,x^2 + 2\,x - 12 \) i intervallet \( -2 \leq x \,\leq\, 2 \)
c) \( y = e\,^x \) i intervallet \( -1 \leq x \,\leq\, 1 \)
d) \( y = e\,^x \) i intervallet \( -0,1 \leq x \,\leq\, 0,1 \)
e) \( y = e\,^x \) i intervallet \( -0,01 \leq x \,\leq\, 0,01 \)
f) \( y = e\,^x \) i intervallet \( -0,001 \leq x \,\leq\, 0,001 \)
Övning 3
Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen
- \[ y \, = \, 5,1\;x^2 \]
där \( \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder} \)
- \[ y \, = \, {\rm Sträckan\;som\;äpplet\;faller\;i\;meter} \]
Beräkna äpplets genomsnittliga hastighet i tidsintervallet mellan 0,2 och 0,3 sekunder.
Övning 4
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen
- \[ y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 \]
där \( \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} \)
- \[ y \, = \, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;miljoner} \]
a) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under hela seklet.
b) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets första decennium.
c) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets sista decennium.
d) Är följande påstående sant eller falskt?
- "Anledningen till att a)-c) ger samma resultat är att modellen som beskriver Sveriges befolkningsutveckling, är en linjär funktion.
- Linjära funktioner har samma genomsnittliga förändringshastighet i alla intervall på x-axeln."
- Motivera ditt svar.
C-övningar: 5-6
Övning 5
I genomgången, Exempel 3, betraktade vi följande problem:
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
- \[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]
där \( \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)
- \[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]
Läs igenom lösningarna a) - d) i Exempel 3 och besvara följande fråga:
e) Bestäm \( a\, \) i intervallet \( 0 \leq x \,\leq\, a \) där oljans genomsnittliga utströmningshastighet är \( - 260\, \).
Övning 6
Följande utdrag ur Skatteverkets skattetabell för 2014 (kolumn 2) visar hur skatten ökar med månadslönen:
\( x\, \) \( y\, \) \( 22\,801-23\,000 \) \( 5\,302 \) \( 23\,001-23\,200 \) \( 5\,365 \) \( 23\,201-23\,400 \) \( 5\,427 \) \( 23\,401-23\,600 \) \( 5\,490 \) \( 23\,601-23\,800 \) \( 5\,553 \) \( 23\,801-24\,000 \) \( 5\,616 \) \( 24\,001-24\,200 \) \( 5\,681 \) \( 24\,201-24\,400 \) \( 5\,744 \) \( 24\,401-24\,600 \) \( 5\,807 \) \( 24\,601-24\,800 \) \( 5\,870 \)
där \( \; \quad x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} \)
- \[ y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} \]
Åsa får en lönehöjning. Hennes månadslön ökar från \( 23\,150 \) kr till \( 24\,700 \).
a) Bestäm \( \Delta x\, \) för Åsa.
b) Bestäm \( \Delta y\, \) för Åsa.
c) Ange Åsas marginalskatt i procent.
Dvs beräkna \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \) för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön.
Avrunda svaret till en decimal.
A-övningar: 7-8
Övning 7
Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen
- \[ y \, = \, f\,(x) \, = \, x^2 \]
i intervallet \( \; a \,\leq\, x \,\leq\, a + h \).
Förenkla uttrycket i \( a\, \) och \( h\, \) så långt som möjligt.
Övning 8
Följande polynomfunktion är given:
\[ y \,=\, f\,(x) \,=\, 2\,x^2 - 5\,x + 32 \]
a) Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan \( x\, \) och \( x + h\, \). Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
b) Låt i uttrycket från a) gå \( h\, \) mot 0 så att du får ett uttryck endast i \( x\, \). Ange detta uttryck.
c) Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för \( x = 2\, \). Tolka ditt resultat.
Copyright © 2011-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
