Skillnad mellan versioner av "1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (25 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 120: | Rad 120: | ||
== <b>Övning 6</b> == | == <b>Övning 6</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | + | Beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen <math> \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. | |
| − | + | Du kan använda ett kalkylprogram (t.ex. Excel). Följ följande algoritm: | |
<big>{{#NAVCONTENT:Klicka här för att se algoritmen.|Algoritm i Excel}}</big> | <big>{{#NAVCONTENT:Klicka här för att se algoritmen.|Algoritm i Excel}}</big> | ||
| − | Fortsätt | + | Algoritmen leder till en tabell med två kolumner. |
| + | |||
| + | Fortsätt med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} </math> för varje <math> \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. OBS! <math> \, F(0) \, = \, 0 </math>. | ||
a) Mot vilket värde går kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, </math> när <math> n\, </math> växer? Ange svaret med <math> \, 9 \, </math> decimaler. | a) Mot vilket värde går kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, </math> när <math> n\, </math> växer? Ange svaret med <math> \, 9 \, </math> decimaler. | ||
| − | Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene | + | Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittet (ett proportionellt förhållande eller skala). |
| − | För att få reda på vad detta innebär lös b): | + | För att få reda på vad detta innebär läs om [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <b><span style="color:blue">gyllene snittet</span></b>] och lös uppgift b) nedan: |
b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är <math> \, 1 \, </math> och den kortare delen är <math> x\, </math>: | b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är <math> \, 1 \, </math> och den kortare delen är <math> x\, </math>: | ||
| Rad 145: | Rad 147: | ||
Lös denna ekvation exakt. | Lös denna ekvation exakt. | ||
| − | Ange dess positiva lösning - kallad <math> g\, </math> (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till <math> g\, </math> med nio decimaler. | + | Ange dess positiva (exakta) lösning - kallad <math> g\, </math> (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till <math> g\, </math> med nio decimaler. |
Jämför resultatet med a). | Jämför resultatet med a). | ||
c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet? | c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet? | ||
| − | + | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.5a Svar 6a|Lösning 6a|1.5a Lösning 6a|Svar 6b|1.5a Svar 6b|Lösning 6b|1.5a Lösning 6b|Svar 6c|1.5a Svar 6c}} | {{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.5a Svar 6a|Lösning 6a|1.5a Lösning 6a|Svar 6b|1.5a Svar 6b|Lösning 6b|1.5a Lösning 6b|Svar 6c|1.5a Svar 6c}} | ||
| − | |||
</div> | </div> | ||
| Rad 257: | Rad 258: | ||
== <b>Övning 11</b> == | == <b>Övning 11</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | Fibonaccis funktion | + | Fibonaccis funktion har följande rekursiv formel: |
::<math> F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ | ::<math> F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ | ||
| Rad 265: | Rad 266: | ||
</math> | </math> | ||
| − | + | Rekursiv, därför att den anropar sig själv, fast med olika argument<span>:</span> <math> \; n-1 \; </math> och <math> \; n-2 \; </math>. | |
| − | Dvs den | + | Dvs den går tillbaka och använder de två föregående värdena, för att definiera det aktuella värdet. |
| − | + | För att kunna starta har formeln två startvärden. | |
| − | Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. | + | Även i fortsättningen måste man alltid känna till de två föregående värdena, för att beräkna nästa värde. |
| + | |||
| + | Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen, en s.k. <i>explicit formel</i>. | ||
Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. | Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. | ||
| − | Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående | + | Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att behöva beräkna alla föregående. |
| − | Den upptäcktes först 1718 och har | + | Den upptäcktes först 1718 och har följande vacker struktur: |
::<math> F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 </math> | ::<math> F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 </math> | ||
| − | Bevisa denna explicita formel | + | Observera att Fibonaccis funktion endast är definierad för heltal och har även endast heltalsvärden (<i>diskret</i> funktion). |
| + | |||
| + | Ändå är i den explicita formeln ovan det irrationella talet <math> \sqrt{5} </math> involverat. | ||
| + | |||
| + | Bevisa denna explicita formel. Det kan man t.ex. göra genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln ovan. | ||
| − | {{#NAVCONTENT:Ledning 11|1.5a Ledning 11 | + | {{#NAVCONTENT:Ledning 11|1.5a Ledning 11|Lösning 11|1.5a Lösning 11}}</div> |
Nuvarande version från 4 oktober 2024 kl. 07.05
| << Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa demoavsnitt >> |
E-övningar: 1-5
Övning 1
Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion.
Ange även om och i så fall för vilka \( x \, \) funktionerna har diskontinuiteter.
Motivera dina svar.
Hämtar...
Övning 2
a) Rita grafen till den diskreta funktionen
- \[ y = x^2\, \]
vars definitionsmängd är alla heltal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).
Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper.
b) Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen
- \[ y = x^2\, \]
vars definitionsmängd är alla reella tal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).
Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen).
Övning 3
På bilden visas grafen till en funktion.
Den ihåliga ringen i grafen betyder att detta värde inte tillhör funktionens värdemängd,
medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.
Anta att varje ruta i grafen har längdenheten \( 1\, \).
a) Är funktionen \( f(x)\, \) diskret eller kontinuerlig?
b) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?
c) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) definierad i det ritade intervallet?
d) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig i det ritade intervallet?
Motivera dina svar.
Övning 4
Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd,
medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.
Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten \( 1\, \).
a) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?
b) Är funktionen \( f(x)\, \) definierad för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?
c) Är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?
d) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?
Motivera dina svar.
Övning 5
I genomgången beräknades de \( \, 12 \, \) första fibonaccitalen.
Ta reda på de två första fibonaccitalen och använd mönstret att summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.
a) Komplettera med miniräknaren beräkningen med ytterligare \( \, 12 \, \) fibonaccital, dvs beräkna \( \, F(13) - F(24) \).
- Hur många kaninpar kommer att finnas om två år?
b) I genomgången visades grafen för de 12 första fibonaccitalen. Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen \( F(12) - F(24) \).
- Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper
C-övningar: 6-8
Övning 6
Beräkna de första \( \, 24 \, \) fibonaccitalen \( \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 \).
Du kan använda ett kalkylprogram (t.ex. Excel). Följ följande algoritm:
Algoritmen leder till en tabell med två kolumner.
Fortsätt med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten \( \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \) för varje \( \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 \). OBS! \( \, F(0) \, = \, 0 \).
a) Mot vilket värde går kvoten \( \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, \) när \( n\, \) växer? Ange svaret med \( \, 9 \, \) decimaler.
Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittet (ett proportionellt förhållande eller skala).
För att få reda på vad detta innebär läs om gyllene snittet och lös uppgift b) nedan:
b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är \( \, 1 \, \) och den kortare delen är \( x\, \):
Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare
delen, så sägs sträckan vara delad enligt gyllene snittet. Översatt till ekvation blir det:
- \[ {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} \]
Lös denna ekvation exakt.
Ange dess positiva (exakta) lösning - kallad \( g\, \) (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till \( g\, \) med nio decimaler.
Jämför resultatet med a).
c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet?
Övning 7
Rita graferna till följande funktioner.
Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella \( x\, \).
Om inte, ange för vilka \( x\, \) de är diskontinuerliga samt diskontuiteternas typ.
Motivera dina svar.
a) \( f(x) = \) \( {x^2\,-\,3\,x\,-\,4 \over x\,-\,2} \)
b) \( g(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 2 & \mbox{om } x \leq 0 \\
-2 & \mbox{om } x > 0 \\
\end{cases}
\)
c) \( h(x) \, = \, \begin{cases} 2\,x + 1 & \mbox{om } x \leq 1 \\
5 & \mbox{om } x > 1 \\
\end{cases}
\)
Övning 8
| Följande graf till en funktion \( y = f(x)\, \) är given:
|
\( \quad \) |  |
- definitionen för kontinuerliga funktioner om \( f(x)\, \) är kontinuerlig för \( x = 0\, \).
A-övningar: 9-11
Övning 9
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} \]
a) Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att \( f(x)\, \) är kontinuerlig för alla \( \,x\)?
- Om inte, ange för vilka \( x\, \) funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar.
b) Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan.
c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen \( f(x)\, \)?
- Motivera ditt svar.
Övning 10
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} \]
a) Ange funktionens diskontinuiteter.
- Vilka är hävbara och vilka är icke-hävbara diskontinuiteter?
b) Definiera funktionen \(\,f(x)\):s kontinuerliga fortsättning \( \, g(x)\, \).
- Dvs ange en funktion som inte längre har \( \, f(x)\):s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med \( \, f(x) \).
c) Rita graferna till \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp?
Övning 11
Fibonaccis funktion har följande rekursiv formel:
- \[ F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ 1 & \mbox{om } n = 2\; , \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{cases} \]
Rekursiv, därför att den anropar sig själv, fast med olika argument: \( \; n-1 \; \) och \( \; n-2 \; \).
Dvs den går tillbaka och använder de två föregående värdena, för att definiera det aktuella värdet.
För att kunna starta har formeln två startvärden.
Även i fortsättningen måste man alltid känna till de två föregående värdena, för att beräkna nästa värde.
Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen, en s.k. explicit formel.
Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden.
Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att behöva beräkna alla föregående.
Den upptäcktes först 1718 och har följande vacker struktur:
- \[ F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]
Observera att Fibonaccis funktion endast är definierad för heltal och har även endast heltalsvärden (diskret funktion).
Ändå är i den explicita formeln ovan det irrationella talet \( \sqrt{5} \) involverat.
Bevisa denna explicita formel. Det kan man t.ex. göra genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln ovan.
Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.
