Skillnad mellan versioner av "1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Övning 6)
m
 
(257 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e: Exponentialfunktionen med basen e och den naturliga logaritmen|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<&nbsp;&nbsp;Förra demoavsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.5 Fördjupning till Kontinuerliga och diskreta funktioner|Fördjupning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa avsnitt -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.6 Absolutbelopp|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">E-övningar: 1-5</span></Big></Big></Big>
+
<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-5</span></Big></Big></Big>
  
  
−
== Övning 1 ==
+
== <b>Övning 1</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion.
 
Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion.
  
Rad 24: Rad 24:
 
[[Image: Övn 1.jpg]]
 
[[Image: Övn 1.jpg]]
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.5a Svar 1a|Svar 1b|1.5a Svar 1b|Svar 1c|1.5a Svar 1c|Svar 1d|1.5a Svar 1d}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.5a Svar 1a|Svar 1b|1.5a Svar 1b|Svar 1c|1.5a Svar 1c|Svar 1d|1.5a Svar 1d}}</div>
  
−
== Övning 2 ==
+
 
−
<div class="ovning">
+
== <b>Övning 2</b> ==
−
a) Rita grafen till den diskreta funktionen
+
<div class="ovnE">
 +
a) &nbsp; Rita grafen till den diskreta funktionen
  
 
::<math> y = x^2\, </math>
 
::<math> y = x^2\, </math>
Rad 36: Rad 37:
 
Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper.
 
Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper.
  
−
b) Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen
+
b) &nbsp; Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen
  
 
::<math> y = x^2\, </math>
 
::<math> y = x^2\, </math>
Rad 44: Rad 45:
 
Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen).
 
Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen).
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.5a Svar 2a|Svar 2b|1.5a Svar 2b}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.5a Svar 2a|Svar 2b|1.5a Svar 2b}}</div>
  
−
== Övning 3 ==
+
 
−
<div class="ovning">
+
== <b>Övning 3</b> ==
−
Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten <math> 1\, </math>.
+
<div class="ovnE">
 +
På bilden visas grafen till en funktion.
 +
 
 +
Den ihåliga ringen i grafen betyder att detta värde inte tillhör funktionens värdemängd,
 +
 
 +
medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.
 +
 
 +
Anta att varje ruta i grafen har längdenheten <math> 1\, </math>.
  
 
[[Image: Övn 3 60a.jpg]]
 
[[Image: Övn 3 60a.jpg]]
  
−
a) Är funktionen <math> f(x)\, </math> diskret eller kontinuerlig?
+
a) &nbsp; Är funktionen <math> f(x)\, </math> diskret eller kontinuerlig?
  
−
b) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>?  
+
b) &nbsp; Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>?  
  
−
c) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> inte definierad i det ritade intervallet?
+
c) &nbsp; För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> definierad i det ritade intervallet?
  
−
d) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> inte kontinuerlig i det ritade intervallet?
+
d) &nbsp; För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig i det ritade intervallet?
  
 
Motivera dina svar.
 
Motivera dina svar.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.5a Svar 3a|Svar 3b|1.5a Svar 3b|Svar 3c|1.5a Svar 3c|Svar 3d|1.5a Svar 3d}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.5a Svar 3a|Svar 3b|1.5a Svar 3b|Svar 3c|1.5a Svar 3c|Svar 3d|1.5a Svar 3d}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 4</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd,
 +
 
 +
medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.
  
−
== Övning 4 ==
 
−
<div class="ovning">
 
 
Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten <math> 1\, </math>.
 
Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten <math> 1\, </math>.
  
 
[[Image: Övn 4 60.jpg]]
 
[[Image: Övn 4 60.jpg]]
  
−
a) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>?  
+
a) &nbsp; Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen <math> f(x)\, </math> för <math> x = 4\, </math>?  
  
−
b) Är funktionen <math> f(x)\, </math> definierad för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet?
+
b) &nbsp; Är funktionen <math> f(x)\, </math> definierad för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet?
  
−
c) Är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet?
+
c) &nbsp; Är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig för alla <math> x\, </math> i det ritade intervallet?
  
−
d) För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?.
+
d) &nbsp; För vilka <math> x\, </math> är funktionen <math> f(x)\, </math> kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?
  
 
Motivera dina svar.
 
Motivera dina svar.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.5a Svar 4a|Svar 4b|1.5a Svar 4b|Svar 4c|1.5a Svar 4c|Svar 4d|1.5a Svar 4d}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.5a Svar 4a|Svar 4b|1.5a Svar 4b|Svar 4c|1.5a Svar 4c|Svar 4d|1.5a Svar 4d}}</div>
  
−
== Övning 5 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
I teoridelen, [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_3_Fibonaccis_problem|<strong><span style="color:blue">Exempel 3</span></strong>]], beräknades de 12 första fibonaccitalen med hjälp av [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Fibonaccis_funktion|<strong><span style="color:blue">Fibonaccis funktion</span></strong>]].
 
  
−
a) Använd samma funktion för att komplettera beräkningen med ytterligare 12 fibonaccital som följer efter de 12 första, dvs beräkna <math> F(13) - F(24)\, </math> för att slutligen kunna besvara frågan: Hur många kaninpar kommer att finnas om två år?
+
== <b>Övning 5</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
I genomgången beräknades de <math> \, 12 \, </math> första fibonaccitalen.
  
−
b) I slutet av Exempel 3 visades [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Grafen|<strong><span style="color:blue">grafen</span></strong>]] för de 12 första fibonaccitalen. Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen <math> F(12) - F(24)\, </math> .  
+
Ta reda på de två första fibonaccitalen och använd mönstret att summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.  
  
−
Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper
+
a) &nbsp; Komplettera med miniräknaren beräkningen med ytterligare <math> \, 12 \, </math> fibonaccital, dvs beräkna <math> \, F(13) - F(24) </math>.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.5a Svar 5a|Svar 5b|1.5a Svar 5b}}
+
:Hur många kaninpar kommer att finnas om två år?
  
 +
b) &nbsp; I genomgången visades grafen för de 12 första fibonaccitalen. Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen <math> F(12) - F(24) </math>.
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">C-övningar: 6-8</span></Big></Big></Big>
+
:Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper
  
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.5a Svar 5a|Svar 5b|1.5a Svar 5b}}</div>
  
−
== Övning 6 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
I teoridelen, [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Exempel_3_Fibonaccis_problem|<strong><span style="color:blue">Exempel 3</span></strong>]], ställdes upp en tabell med två kolumner över de 8 första fibonaccitalen. Använd [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Fibonaccis_funktion|<strong><span style="color:blue">Fibonaccis funktion</span></strong>]] för att komplettera denna tabell med alla fibonaccital vi beräknat hittills, både i Exempel 3 och i övn. 5, så att du får en fullständig tabell över de första 24 fibonaccitalen <math> F(1) - F(24)\, </math>.
 
  
−
Lägg till denna tabell en tredje kolumn med rubriken <math> F(n) \over F(n-1)\, </math>.
 
  
−
Låt den första cellen i denna kolumn vara tom.
 
  
−
Sätt in i den andra cellen värdet <math> F(2) / F(1)\, = 1/1 = 1\, </math>.
+
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 6-8</span></Big></Big></Big>
  
−
Sätt in i den tredje cellen värdet <math> F(3) / F(2)\, = 2/1 = 2\, </math>.
 
  
−
Sätt in i den fjärde cellen värdet <math> F(4) / F(3)\, = 3/2 = 1,5\, </math>.
+
== <b>Övning 6</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen <math> \, F(n), \quad  n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>.
  
−
Sätt in i den femte cellen värdet <math> F(5) / F(4)\, = 5/3 = 1,666\cdots </math>.
+
Du kan använda ett kalkylprogram (t.ex. Excel). Följ följande algoritm:
 +
<big>{{#NAVCONTENT:Klicka här för att se algoritmen.|Algoritm i Excel}}</big>
  
−
::::::::<math> \cdots </math>
+
Algoritmen leder till en tabell med två kolumner.
−
Fortsätt med att fylla i cell nr <math> n\, </math> i den tredje kolumnen med kvoten <math> {F(n) \over F(n-1)}, \; n = 6, 7, 8, \cdots </math>. Använd 8 decimaler.
+
  
−
a) Mot vilket värde går kvoten <math> F(n) \over F(n-1)\, </math> när <math> n\, </math> växer?
+
Fortsätt med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} </math> för varje <math> \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. OBS! <math> \, F(0) \, = \, 0 </math>.
  
−
Det värde du har hittat för kvoten ovan är det s.k. [http://www.svtplay.se/klipp/1678546/det-gyllene-snittetl <strong><span style="color:blue">gyllene snittets</span></strong>] proportionella förhållande eller skala. Lös b) för att få reda på vad detta innebär:
+
a) &nbsp; Mot vilket värde går kvoten <math> \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, </math> när <math> n\, </math> växer? Ange svaret med <math> \, 9 \, </math> decimaler.
  
−
b)  
+
Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittet (ett proportionellt förhållande eller skala).
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.5a Svar 6a|Svar 6b|1.5a Svar 6b}}
+
För att få reda på vad detta innebär läs om [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <b><span style="color:blue">gyllene snittet</span></b>] och lös uppgift b) nedan:
  
−
== Övning 7 ==
+
b) &nbsp; En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är <math> \, 1 \, </math> och den kortare delen är <math> x\, </math>:
−
<div class="ovning">
+
−
Rita grafen till följande funktioner.
+
  
−
Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella <math> x\, </math>. Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> de är diskontinuerliga samt diskontuiteternas typ.
+
::::[[Image: Övn 6 60a.jpg]]
  
 +
Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare
  
−
a) <math> {\color{white} x} f(x) = {x^2 - 3\,x - 4 \over x - 2} </math>
+
delen, så sägs sträckan vara delad enligt [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <b><span style="color:blue">gyllene snittet</span></b>]. Översatt till ekvation blir det:
  
 +
::::::::<math> {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} </math>
  
−
b) <math> {\color{white} x} g(x) = {x^2 - 9 \over x-3} </math>
+
Lös denna ekvation exakt.
  
−
:Varför visar grafen till <math> g(x)\, </math> en rät linje? Är <math> g(x)\, </math> en linjär funktion?
+
Ange dess positiva (exakta) lösning - kallad <math> g\, </math> (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till <math> g\, </math> med nio decimaler.
  
−
:Kan man av grafen dra slutsatsen att <math> g(x)\, </math> är kontinuerlig för alla <math> \,x</math>?
+
Jämför resultatet med a).
  
−
:Om inte, skriv om <math> g(x)\, </math> så att det uppstår en funktion som är kontinuerlig för alla <math> x\, </math>.
+
c) &nbsp; Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet?
  
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.5a Svar 6a|Lösning 6a|1.5a Lösning 6a|Svar 6b|1.5a Svar 6b|Lösning 6b|1.5a Lösning 6b|Svar 6c|1.5a Svar 6c}}
 +
</div>
  
−
c) <math> {\color{white} x} h(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 1 & \mbox{om } x \leq 2 \\
+
 
−
                                                      5        & \mbox{om } x  >  2 \\
+
== <b>Övning 7</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Rita graferna till följande funktioner.
 +
 
 +
Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella <math> x\, </math>.
 +
 
 +
Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> de är diskontinuerliga samt [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Olika_typer_av_diskontinuitet|<b><span style="color:blue">diskontuiteternas typ</span></b>]].
 +
 
 +
Motivera dina svar.
 +
 
 +
 
 +
a) &nbsp; <math> f(x) = </math> <big><big><math> {x^2\,-\,3\,x\,-\,4 \over x\,-\,2} </math></big></big>
 +
 
 +
 
 +
b) &nbsp; <math> g(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 2 & \mbox{om } x \leq 0 \\
 +
                                            -2      & \mbox{om } x  >  0 \\
 
                                         \end{cases}
 
                                         \end{cases}
 
   </math>
 
   </math>
  
  
−
d) <math> {\color{white} x} k(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 1 & \mbox{om } x \leq 2 \\
+
c) &nbsp; <math> h(x) \, = \, \begin{cases} 2\,x + 1 & \mbox{om } x \leq 1 \\
−
                                                      6       & \mbox{om } x  >  2 \\
+
                                            5       & \mbox{om } x  >  1 \\
 
                                         \end{cases}
 
                                         \end{cases}
 
   </math>
 
   </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 7a|1.5a Svar 7a|Svar 7b|1.5a Svar 7b|Svar 7c|1.5a Svar 7c|Svar 7d|1.5a Svar 7d}}
+
{{#NAVCONTENT:Lösning 7a|1.5a Svar 7a|Lösning 7b|1.5a Svar 7b|Lösning 7c|1.5a Svar 7c}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 8</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
 
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>Följande graf till en funktion <math> y = f(x)\, </math> är given:
 +
 
 +
 
 +
a) &nbsp; Ställ upp ett funktionsuttryck för <math> f(x)\, </math>.
 +
 
 +
:Utnyttja möjligheten att för en och samma
 +
 
 +
:funktion ställa upp olika uttryck i olika
 +
 
 +
:delar av funktionens definitionsmängd.
 +
 
 +
 
 +
b) &nbsp; Undersök med hjälp av den [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition|<b><span style="color:blue">allmänna</span></b>]]
 +
</td>
 +
  <td><math> \quad </math></td>
 +
  <td>[[Image: Övn 8.png]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
:[[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition|<b><span style="color:blue">&nbsp;definitionen</span></b>]] för kontinuerliga funktioner om <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.5a Svar 8a|Svar 8b|1.5a Svar 8b}}</div>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 9-11</span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 9</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Följande funktion är given:
 +
 
 +
::<math> y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} </math>
 +
 
 +
a) &nbsp; Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för alla <math> \,x</math>?
 +
 
 +
:Om inte, ange för vilka <math> x\, </math> funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar.
 +
 
 +
b) &nbsp; Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan.
 +
 
 +
c) &nbsp; Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen <math> f(x)\, </math>?
 +
 
 +
:Motivera ditt svar.
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 9a|1.5a Svar 9a|Svar 9b|1.5a Svar 9b|Svar 9c|1.5a Svar 9c}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 10</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Följande funktion är given:
 +
 
 +
::<math> y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} </math>
 +
 
 +
a) &nbsp; Ange funktionens diskontinuiteter.
 +
 
 +
:Vilka är [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">hävbara</span></b>]] och vilka är [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">icke-hävbara</span></b>]] diskontinuiteter?
 +
 
 +
b) &nbsp; Definiera funktionen <math>\,f(x)</math>:s [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">kontinuerliga fortsättning</span></b>]] <math> \, g(x)\, </math>.
 +
 
 +
:Dvs ange en funktion som inte längre har <math> \, f(x)</math>:s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med <math> \, f(x) </math>. 
 +
 
 +
c) &nbsp; Rita graferna till <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp?
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 10a|1.5a Svar 10a|Lösning 10a|1.5a Lösning 10a|Svar 10b|1.5a Svar 10b|Lösning 10b|1.5a Lösning 10b|Lösning 10c|1.5a Lösning 10c}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 11</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Fibonaccis funktion har följande rekursiv formel:
 +
 
 +
::<math>  F(n) \, = \, \begin{cases} 1              & \mbox{om } n = 1                                        \\
 +
                                    1              & \mbox{om } n = 2\; , \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal}  \\
 +
                                    F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots
 +
                    \end{cases}
 +
</math>
 +
 
 +
Rekursiv, därför att den anropar sig själv, fast med olika argument<span>:</span> <math> \; n-1 \; </math> och <math> \; n-2 \; </math>.
 +
 
 +
Dvs den går tillbaka och använder de två föregående värdena, för att definiera det aktuella värdet.
 +
 
 +
För att kunna starta har formeln två startvärden.
 +
 
 +
Även i fortsättningen måste man alltid känna till de två föregående värdena, för att beräkna nästa värde.
 +
 
 +
Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen, en s.k. <i>explicit formel</i>.
 +
 
 +
Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden.
 +
 
 +
Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att behöva beräkna alla föregående.
 +
 
 +
Den upptäcktes först 1718 och har följande vacker struktur:
 +
 
 +
::<math> F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1  </math>
 +
 
 +
Observera att Fibonaccis funktion endast är definierad för heltal och har även endast heltalsvärden (<i>diskret</i> funktion).
 +
 
 +
Ändå är i den explicita formeln ovan det irrationella talet <math> \sqrt{5} </math> involverat.
 +
 
 +
Bevisa denna explicita formel. Det kan man t.ex. göra genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln ovan.
 +
 
 +
{{#NAVCONTENT:Ledning 11|1.5a Ledning 11|Lösning 11|1.5a Lösning 11}}</div>
 +
 
 +
 
  
−
== Övning 8 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Följande graf till en funktion <math> y = f(x)\, </math> är given:
 
  
−
[[Image: Övn 6.png]]
 
  
−
a) Ställ upp ett funktionsuttryck för <math> f(x)\, </math>.
 
  
−
Utnyttja möjligheten att för en och samma funktion ställa upp olika uttryck i olika delar av funktionens definitionsmängd.
 
  
−
b) Undersök med hjälp av den allmänna [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition|<strong><span style="color:blue">definitionen för kontinuerliga funktioner</span></strong>]] om <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>.
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.5a Svar 8a|Svar 8b|1.5a Svar 8b}}
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2024 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 4 oktober 2024 kl. 07.05

        <<  Förra demoavsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa demoavsnitt  >>      


E-övningar: 1-5


Övning 1

Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion.

Ange även om och i så fall för vilka \( x \, \) funktionerna har diskontinuiteter.

Motivera dina svar.

Övn 1.jpg

Svar 1a
1.5a Svar 1a
Svar 1b
1.5a Svar 1b
Svar 1c
1.5a Svar 1c
Svar 1d
1.5a Svar 1d


Övning 2

a)   Rita grafen till den diskreta funktionen

\[ y = x^2\, \]

vars definitionsmängd är alla heltal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).

Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper.

b)   Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen

\[ y = x^2\, \]

vars definitionsmängd är alla reella tal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).

Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen).

Svar 2a
1.5a Svar 2a
Svar 2b
1.5a Svar 2b


Övning 3

På bilden visas grafen till en funktion.

Den ihåliga ringen i grafen betyder att detta värde inte tillhör funktionens värdemängd,

medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.

Anta att varje ruta i grafen har längdenheten \( 1\, \).

Övn 3 60a.jpg

a)   Är funktionen \( f(x)\, \) diskret eller kontinuerlig?

b)   Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?

c)   För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) definierad i det ritade intervallet?

d)   För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig i det ritade intervallet?

Motivera dina svar.

Svar 3a
1.5a Svar 3a
Svar 3b
1.5a Svar 3b
Svar 3c
1.5a Svar 3c
Svar 3d
1.5a Svar 3d


Övning 4

Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd,

medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden.

Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten \( 1\, \).

Övn 4 60.jpg

a)   Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?

b)   Är funktionen \( f(x)\, \) definierad för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?

c)   Är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?

d)   För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?

Motivera dina svar.

Svar 4a
1.5a Svar 4a
Svar 4b
1.5a Svar 4b
Svar 4c
1.5a Svar 4c
Svar 4d
1.5a Svar 4d


Övning 5

I genomgången beräknades de \( \, 12 \, \) första fibonaccitalen.

Ta reda på de två första fibonaccitalen och använd mönstret att summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.

a)   Komplettera med miniräknaren beräkningen med ytterligare \( \, 12 \, \) fibonaccital, dvs beräkna \( \, F(13) - F(24) \).

Hur många kaninpar kommer att finnas om två år?

b)   I genomgången visades grafen för de 12 första fibonaccitalen. Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen \( F(12) - F(24) \).

Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper
Svar 5a
1.5a Svar 5a
Svar 5b
1.5a Svar 5b



C-övningar: 6-8


Övning 6

Beräkna de första \( \, 24 \, \) fibonaccitalen \( \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 \).

Du kan använda ett kalkylprogram (t.ex. Excel). Följ följande algoritm:

Klicka här för att se algoritmen.
Algoritm i Excel

Algoritmen leder till en tabell med två kolumner.

Fortsätt med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten \( \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \) för varje \( \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 \). OBS! \( \, F(0) \, = \, 0 \).

a)   Mot vilket värde går kvoten \( \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, \) när \( n\, \) växer? Ange svaret med \( \, 9 \, \) decimaler.

Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittet (ett proportionellt förhållande eller skala).

För att få reda på vad detta innebär läs om gyllene snittet och lös uppgift b) nedan:

b)   En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är \( \, 1 \, \) och den kortare delen är \( x\, \):

Övn 6 60a.jpg

Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare

delen, så sägs sträckan vara delad enligt gyllene snittet. Översatt till ekvation blir det:

\[ {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} \]

Lös denna ekvation exakt.

Ange dess positiva (exakta) lösning - kallad \( g\, \) (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till \( g\, \) med nio decimaler.

Jämför resultatet med a).

c)   Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet?

Svar 6a
1.5a Svar 6a
Lösning 6a
1.5a Lösning 6a
Svar 6b
1.5a Svar 6b
Lösning 6b
1.5a Lösning 6b
Svar 6c
1.5a Svar 6c


Övning 7

Rita graferna till följande funktioner.

Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella \( x\, \).

Om inte, ange för vilka \( x\, \) de är diskontinuerliga samt diskontuiteternas typ.

Motivera dina svar.


a)   \( f(x) = \) \( {x^2\,-\,3\,x\,-\,4 \over x\,-\,2} \)


b)   \( g(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 2 & \mbox{om } x \leq 0 \\ -2 & \mbox{om } x > 0 \\ \end{cases} \)


c)   \( h(x) \, = \, \begin{cases} 2\,x + 1 & \mbox{om } x \leq 1 \\ 5 & \mbox{om } x > 1 \\ \end{cases} \)

Lösning 7a
1.5a Svar 7a
Lösning 7b
1.5a Svar 7b
Lösning 7c
1.5a Svar 7c


Övning 8

Följande graf till en funktion \( y = f(x)\, \) är given:


a)   Ställ upp ett funktionsuttryck för \( f(x)\, \).

Utnyttja möjligheten att för en och samma
funktion ställa upp olika uttryck i olika
delar av funktionens definitionsmängd.


b)   Undersök med hjälp av den allmänna

\( \quad \) Övn 8.png
 definitionen för kontinuerliga funktioner om \( f(x)\, \) är kontinuerlig för \( x = 0\, \).
Svar 8a
1.5a Svar 8a
Svar 8b
1.5a Svar 8b



A-övningar: 9-11


Övning 9

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} \]

a)   Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att \( f(x)\, \) är kontinuerlig för alla \( \,x\)?

Om inte, ange för vilka \( x\, \) funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar.

b)   Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan.

c)   Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen \( f(x)\, \)?

Motivera ditt svar.
Svar 9a
1.5a Svar 9a
Svar 9b
1.5a Svar 9b
Svar 9c
1.5a Svar 9c


Övning 10

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} \]

a)   Ange funktionens diskontinuiteter.

Vilka är hävbara och vilka är icke-hävbara diskontinuiteter?

b)   Definiera funktionen \(\,f(x)\):s kontinuerliga fortsättning \( \, g(x)\, \).

Dvs ange en funktion som inte längre har \( \, f(x)\):s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med \( \, f(x) \).

c)   Rita graferna till \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp?

Svar 10a
1.5a Svar 10a
Lösning 10a
1.5a Lösning 10a
Svar 10b
1.5a Svar 10b
Lösning 10b
1.5a Lösning 10b
Lösning 10c
1.5a Lösning 10c


Övning 11

Fibonaccis funktion har följande rekursiv formel:

\[ F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ 1 & \mbox{om } n = 2\; , \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{cases} \]

Rekursiv, därför att den anropar sig själv, fast med olika argument: \( \; n-1 \; \) och \( \; n-2 \; \).

Dvs den går tillbaka och använder de två föregående värdena, för att definiera det aktuella värdet.

För att kunna starta har formeln två startvärden.

Även i fortsättningen måste man alltid känna till de två föregående värdena, för att beräkna nästa värde.

Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen, en s.k. explicit formel.

Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden.

Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att behöva beräkna alla föregående.

Den upptäcktes först 1718 och har följande vacker struktur:

\[ F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]

Observera att Fibonaccis funktion endast är definierad för heltal och har även endast heltalsvärden (diskret funktion).

Ändå är i den explicita formeln ovan det irrationella talet \( \sqrt{5} \) involverat.

Bevisa denna explicita formel. Det kan man t.ex. göra genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln ovan.

Ledning 11
1.5a Ledning 11
Lösning 11
1.5a Lösning 11





Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner&oldid=29538"