Skillnad mellan versioner av "1.5 Övningar till Kontinuerliga och diskreta funktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Övning 4) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 69: | Rad 69: | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
== <b><span style="color:#931136">Övning 4</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Övning 4</span></b> == | ||
Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten <math> 1\, </math>. | Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten <math> 1\, </math>. | ||
| Rad 89: | Rad 88: | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
== <b><span style="color:#931136">Övning 5</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Övning 5</span></b> == | ||
I genomgången beräknades de <math> \, 12 \, </math> första fibonaccitalen. Ta reda på de två första fibonaccitalen och använd mönstret att summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital. | I genomgången beräknades de <math> \, 12 \, </math> första fibonaccitalen. Ta reda på de två första fibonaccitalen och använd mönstret att summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital. | ||
| Rad 102: | Rad 100: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | <Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 6-8</span></Big></Big></Big> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovnC"> | ||
| + | == <b><span style="color:#931136">Övning 6</span></b> == | ||
Använd Excel för att beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen <math> \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. Följ [[Algoritm i Excel|<strong><span style="color:blue">algoritmen</span></strong>]] som visades på genomgången. | Använd Excel för att beräkna de första <math> \, 24 \, </math> fibonaccitalen <math> \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 </math>. Följ [[Algoritm i Excel|<strong><span style="color:blue">algoritmen</span></strong>]] som visades på genomgången. | ||
| Rad 114: | Rad 114: | ||
Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <strong><span style="color:blue">gyllene snittets</span></strong>] proportionella förhållande (skala). Lös b) för att få reda på vad detta innebär: | Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. [http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet <strong><span style="color:blue">gyllene snittets</span></strong>] proportionella förhållande (skala). Lös b) för att få reda på vad detta innebär: | ||
| − | |||
b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är <math> \, 1 \, </math> och den kortare delen är <math> x\, </math>: | b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är <math> \, 1 \, </math> och den kortare delen är <math> x\, </math>: | ||
| Rad 121: | Rad 120: | ||
Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare delen, så sägs sträckan vara delad enligt [http://www.svtplay.se/klipp/1678546/det-gyllene-snittet <strong><span style="color:red">gyllene snittet</span></strong>]. Översatt till ekvation blir det: | Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare delen, så sägs sträckan vara delad enligt [http://www.svtplay.se/klipp/1678546/det-gyllene-snittet <strong><span style="color:red">gyllene snittet</span></strong>]. Översatt till ekvation blir det: | ||
| − | |||
::::<math> {\color{White} x} {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} </math> | ::::<math> {\color{White} x} {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} </math> | ||
Lös denna ekvation exakt. Ange dess positiva lösning - kallad <math> g\, </math> (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till <math> g\, </math> med nio decimaler. Jämför resultatet med a). | Lös denna ekvation exakt. Ange dess positiva lösning - kallad <math> g\, </math> (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till <math> g\, </math> med nio decimaler. Jämför resultatet med a). | ||
| − | |||
c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet? | c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet? | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.5a Svar 6a|Lösning 6a|1.5a Lösning 6a|Svar 6b|1.5a Svar 6b|Lösning 6b|1.5a Lösning 6b|Svar 6c|1.5a Svar 6c}}</div> | |
| − | == | + | <div class="ovnC"> |
| − | < | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 7</span></b> == |
Rita graferna till följande funktioner. | Rita graferna till följande funktioner. | ||
| Rad 154: | Rad 151: | ||
</math> | </math> | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Lösning 7a|1.5a Svar 7a|Lösning 7b|1.5a Svar 7b|Lösning 7c|1.5a Svar 7c}}</div> | |
| − | == | + | <div class="ovnC"> |
| − | < | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 8</span></b> == |
Följande graf till en funktion <math> y = f(x)\, </math> är given: | Följande graf till en funktion <math> y = f(x)\, </math> är given: | ||
| Rad 169: | Rad 166: | ||
b) Undersök med hjälp av den [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition|<strong><span style="color:blue">allmänna definitionen</span></strong>]] för kontinuerliga funktioner om <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>. | b) Undersök med hjälp av den [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition|<strong><span style="color:blue">allmänna definitionen</span></strong>]] för kontinuerliga funktioner om <math> f(x)\, </math> är kontinuerlig för <math> x = 0\, </math>. | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.5a Svar 8a|Svar 8b|1.5a Svar 8b}}</div> | |
| + | |||
| + | |||
| − | <Big><Big><Big><span style="color: | + | <Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 9-11</span></Big></Big></Big> |
| − | == | + | <div class="ovnA"> |
| − | < | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 9</span></b> == |
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
| Rad 187: | Rad 186: | ||
c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen <math> f(x)\, </math>? Motivera ditt svar. | c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen <math> f(x)\, </math>? Motivera ditt svar. | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 9a|1.5a Svar 9a|Svar 9b|1.5a Svar 9b|Svar 9c|1.5a Svar 9c}}</div> | |
| − | == | + | <div class="ovnA"> |
| − | < | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 10</span></b> == |
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
| Rad 202: | Rad 201: | ||
c) Rita graferna till <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp? | c) Rita graferna till <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp? | ||
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 10a|1.5a Svar 10a|Lösning 10a|1.5a Lösning 10a|Svar 10b|1.5a Svar 10b|Lösning 10b|1.5a Lösning 10b|Lösning 10c|1.5a Lösning 10c}}</div> | |
| − | == | + | <div class="ovnA"> |
| − | < | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 11</span></b> == |
Fibonaccis funktion | Fibonaccis funktion | ||
Versionen från 16 maj 2015 kl. 19.39
| <-- Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Diagnosprov kap 1 --> |
E-övningar: 1-5
Övning 1
Bestäm för varje graf om den visar en diskret eller en kontinuerlig funktion.
Ange även om och i så fall för vilka \( x \, \) funktionerna har diskontinuiteter.
Motivera dina svar.
Hämtar...
Övning 2
a) Rita grafen till den diskreta funktionen
- \[ y = x^2\, \]
vars definitionsmängd är alla heltal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).
Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper.
b) Rita med grafräknaren grafen till den kontinuerliga funktionen
- \[ y = x^2\, \]
vars definitionsmängd är alla reella tal \( x\, \) mellan \( -5\, \) och \( 5\, \) dvs \( -5 \leq x \leq 5 \).
Fundera själv vilka min- och max-värden du borde ange för räknarens display (WINDOW-knappen).
Övning 3
På bilden visas grafen till en funktion. Den ihåliga ringen i grafen betyder att detta värde inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. Anta att varje ruta i grafen har längdenheten \( 1\, \).
a) Är funktionen \( f(x)\, \) diskret eller kontinuerlig?
b) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?
c) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) inte definierad i det ritade intervallet?
d) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) inte kontinuerlig i det ritade intervallet?
Motivera dina svar.
Övning 4
Kom ihåg att de ihåliga ringarna i grafen nedan betyder att dessa värden inte tillhör funktionens värdemängd, medan den ifyllda ringen innebär att detta värde tillhör värdemängden. Anta att varje ruta i grafen nedan har längdenheten \( 1\, \).
a) Vilket värde kan du läsa av från grafen för funktionen \( f(x)\, \) för \( x = 4\, \)?
b) Är funktionen \( f(x)\, \) definierad för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?
c) Är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig för alla \( x\, \) i det ritade intervallet?
d) För vilka \( x\, \) är funktionen \( f(x)\, \) kontinuerlig och för vilka är den diskontinuerlig?.
Motivera dina svar.
Övning 5
I genomgången beräknades de \( \, 12 \, \) första fibonaccitalen. Ta reda på de två första fibonaccitalen och använd mönstret att summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.
a) Komplettera med miniräknaren beräkningen med ytterligare \( \, 12 \, \) fibonaccital, dvs beräkna \( \, F(13) - F(24) \). Hur många kaninpar kommer att finnas om två år?
b) I genomgången visades grafen för de 12 första fibonaccitalen. Rita Fibonaccis diskreta funktion för fibonaccitalen \( F(12) - F(24) \).
Undersök om din grafräknare kan rita diskreta funktioner. Om ja gör det, annars rita manuellt på rutat papper
C-övningar: 6-8
Övning 6
Använd Excel för att beräkna de första \( \, 24 \, \) fibonaccitalen \( \, F(n), \quad n = 1, 2, 3, \cdots , 24 \). Följ algoritmen som visades på genomgången.
Fortsätt i Excel med att i en 3:e kolumn beräkna kvoten \( \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \) för varje \( \, n = 1, 2, 3, \cdots , 24 \).
a) Mot vilket värde går kvoten \( \displaystyle {F(n-1) \over F(n)} \, \) när \( n\, \) växer? Ange svaret med \( \, 9 \, \) decimaler.
Det värde du har hittat för kvoten ovan är ett närmevärde till det s.k. gyllene snittets proportionella förhållande (skala). Lös b) för att få reda på vad detta innebär:
b) En sträcka kan delas i två delar där den längre delen är \( \, 1 \, \) och den kortare delen är \( x\, \):
Om delningen är vald så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen som denna bit förhåller sig till den kortare delen, så sägs sträckan vara delad enligt gyllene snittet. Översatt till ekvation blir det:
- \[ {\color{White} x} {1+x \over 1} \, = \, {1 \over x} \]
Lös denna ekvation exakt. Ange dess positiva lösning - kallad \( g\, \) (= gyllene snittet) samt ett närmevärde till \( g\, \) med nio decimaler. Jämför resultatet med a).
c) Hur skulle man kunna matematiskt beskriva sambandet mellan fibonaccitalen och gyllene snittet?
Övning 7
Rita graferna till följande funktioner.
Avgör om funktionerna är kontinuerliga för alla reella \( x\, \). Om inte, ange för vilka \( x\, \) de är diskontinuerliga samt diskontuiteternas typ. Motivera dina svar.
a) \( f(x) = \) \( {x^2\,-\,3\,x\,-\,4 \over x\,-\,2} \)
b) \( g(x) \, = \, \begin{cases} 3\,x - 2 & \mbox{om } x \leq 0 \\
-2 & \mbox{om } x > 0 \\
\end{cases}
\)
c) \( h(x) \, = \, \begin{cases} 2\,x + 1 & \mbox{om } x \leq 1 \\
5 & \mbox{om } x > 1 \\
\end{cases}
\)
Övning 8
Följande graf till en funktion \( y = f(x)\, \) är given:
a) Ställ upp ett funktionsuttryck för \( f(x)\, \).
Utnyttja möjligheten att för en och samma funktion ställa upp olika uttryck i olika delar av funktionens definitionsmängd.
b) Undersök med hjälp av den allmänna definitionen för kontinuerliga funktioner om \( f(x)\, \) är kontinuerlig för \( x = 0\, \).
A-övningar: 9-11
Övning 9
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} \]
a) Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att \( f(x)\, \) är kontinuerlig för alla \( \,x\)? Om inte, ange för vilka \( x\, \) funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar.
b) Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan.
c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen \( f(x)\, \)? Motivera ditt svar.
Övning 10
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2\,-\,4}\;,\qquad x\quad\text{reellt tal} \]
a) Ange funktionens diskontinuiteter. Vilka är hävbara och vilka är icke-hävbara diskontinuiteter?
b) Definiera funktionen \(\,f(x)\):s kontinuerliga fortsättning \( g(x)\, \), dvs en funktion som inte längre har \(\, f(x)\):s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med \( f(x)\, \).
c) Rita graferna till \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp?
Övning 11
Fibonaccis funktion
- \[ F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ 1 & \mbox{om } n = 2\; , \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{cases} \]
är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena. Därför har den också två startvärden.
Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och ser ut så här:
- \[ F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]
Bevisa denna explicita formel dvs visa att den uppfyller Fibonaccis rekursionsformel ovan.
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
