Övningar till Potenser
| Teori | Övningar |
G-övningar: 1-4
Övning 1
Förenkla nedanstående uttryck så långt som möjligt bl.a. med hjälp av potenslagarna
a) \( x^4 \cdot x^{-2} / x \)
b) \( {2\,x^{-5} \over 3\,x^{-8}} \cdot (2\,x)^{-1} \)
c) \( (25\,x^2)^{1/2} \)
d) \( (x^{-2})^6 \cdot \sqrt{y} \over y^{0,5} \cdot (x^{-4})^3\, \)
Hämtar...Alternativt:
- Svar 1a | Lösning 1a | Svar 1b | Lösning 1b | Svar 1c | Lösning 1c | Svar 1d | Lösning 1d
Övning 2
Svara med SANT eller FALSKT på följande frågor och motivera ditt svar:
a) Gäller \( (a+b)^2 = a^2 + b^2\, \)? T.ex. stämmer det att \( (3+4)^2 = 3^2 + 4^2\, \)?
b) Gäller \( (a-b)^2 = a^2 - b^2\, \)? T.ex. stämmer det att \( (5-4)^2 = 5^2 - 4^2\, \)?
c) Gäller \( \sqrt{a^2+b^2} = a + b \)? T.ex. stämmer det att \( \sqrt{5^2+4^2} = 5 + 4 \)?
d) Gäller \( \sqrt{a^2 \cdot b^2} = a \cdot b \)? T.ex. stämmer det att \( \sqrt{9 \cdot 4} = 3 \cdot 2 \)?
e) Gäller \( \sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \)? T.ex. stämmer det att \( \sqrt{4 + 36} = 2 + 6 \)?
f) Gäller \( x^3 \cdot y^2 = (x \cdot y)^5 \)? T.ex. stämmer det att \( 2^3 \cdot 5^2 = (2 \cdot 5)^5 \)?
Alternativt:
- Svar 2a | Lösning 2a | Svar 2b | Lösning 2b | Svar 2c | Lösning 2c | Svar 2d | Lösning 2d | Svar 2e | Lösning 2e | Svar 2f | Lösning 2f
Övning 3
Skriv om följande uttryck till en potens \( a^x\, \) av en enda bas. Avgör först vilken bas \( a\, \) som kan vara lämplig:
a) \( 8^2 \cdot 4^3 \)
b) \( 3^{-2} \cdot 9^2 \over 27 \)
c) \( x^{-5} \cdot x^9 \over (x^{-9})^{1/3} \)
Alternativt:
- Svar 3a | Lösning 3a | Svar 3b | Lösning 3b | Svar 3c | Lösning 3c
Övning 4
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
a) \( \left({1 \over 3}\right)^{-3}\, \)
b) \( \sqrt{{4^{40} \over 4} \; / \; 4^{38}} \)
c) \( {9\,^{z+1} \cdot 81\,^{3\,z/4} \over 27\,^{5\,z/3}} \) (Tips: Skriv om alla baser till en enda bas.)
d) \( (6^x + 6^x + 6^x)^2 \; / \; 9\)
Alternativt:
- Svar 4a | Lösning 4a | Svar 4b | Lösning 4b | Svar 4c | Lösning 4c | Svar 4d | Lösning 4d
VG-övningar: 5-6
Övning 5
Lös följande ekvationer:
a) \( (3^x + 3^{x+1}) \,/\, 4\; = \; 9 \)
b) \( (2^x + 2^{x-1}) \cdot {2 \over 3}\; = \; 32 \)
c) \( 8^{3\,x+1} - 8^{3\,x} = 448\, \)
Alternativt:
- Svar 5a | Lösning 5a | Svar 5b | Lösning 5b | Svar 5c | Lösning 5c
Övning 6
Ett belopp på 5 000 kr sätts in på ett bankkonto med fast årsränta. Inga uttag görs. Efter 10 år har beloppet fördubblats.
a) Ställ upp en potensekvation. Använd som obekant förändringsfaktorn för ett år och lös ekvationen. Ange bankens årsränta med två decimaler.
b) Hur mycket pengar finns på kontot efter 20 år (efter insättningen) om inga uttag görs. Svara så exakt som möjligt.
Alternativt:
- Svar 6a | Lösning 6a | Svar 6b | Lösning 6b
MVG-övningar: 7-8
Övning 7
Övning 6 med en annan frågeställning: Ett belopp på 5 000 kr sätts in på ett bankkonto med 7% årsränta. Inga uttag görs. Hur länge tar det exakt tills beloppet fördubblats?
a) Ställ upp en ekvation. Använd som obekant antal år som behövs för att startkapitalet fördubblats. Vilken typ av ekvation blir det?
b) Försök att lösa ekvationen exakt. Om du inte lyckas pröva dig fram med hjälp av räknaren till en approximativ lösning.
Alternativt:
- Svar 7a | Lösning 7a | Svar 7b | Lösning 7b
Övning 8
En termos fylls med hett kaffe. Temperaturen \( y \, \) avtar med tiden \( x \, \) enligt följande:
- \[ y = c \cdot a^x \]
där \( a \, \) och \( c \, \) är vissa konstanter som måste bestämmas. Denna typ av funktion är därför en ansats till en matematisk modell för kaffets avsvalnande. Följande fakta kan användas för att bestämma konstanterna \( a \, \) och \( c \, \):
1. Kaffets temperatur var 94,3 º C när det hälldes i termosen.
2. Efter 4 timmar var temperaturen 76 º C.
a) Bestäm konstanterna \( a \, \) och \( c \, \) i ansatsen ovan och ställ upp den fullständiga matematiska modell där temperaturen \( y \, \) är en exponentialfunktion av tiden \( x \, \). Ange resultaten med 5 decimalers noggrannhet.
b) Använd modellen från b) för att besvara frågan: Hur lång tid tar det tills kaffets temperatur understiger 55 º C då det inte längre anses drickbart? Approximativ lösning räcker.
Alternativt:
- Svar 8a | Lösning 8a | Svar 8b | Lösning 8b
Facit
1a)
\( x\, \)
1b)
\( {x^2 \over 3} \)
1c)
\( 5\,x \)
1d)
\( 1\, \)
2a
FALSKT
2b)
FALSKT
2c)
FALSKT
2d)
SANT
2e)
FALSKT
2f)
FALSKT
3a)
\( 2^{12}\, \)
3b)
\( 3^{-1}\, \)
3c)
\( x^7\, \)
4a)
\( 9\, \)
4b)
\( 2\, \)
4c)
\( 9\, \)
4d)
\( 6\,^{2\,x}\, \)
5a)
\( x = 2\, \)
5b)
\( x = 5 \, \)
5c)
\( x = {2 \over 3} \)
6a)
\( 7,18 \, % \)
6b)
\( 20\,000\, \)
7a)
\( 1,07\,^x\,=\,2 \)
Exponentialekvation
7b)
10 år och 3 månader
8a)
\( c = 94,3\, \)
\( a = 0,94749\, \)
\( y = 94,3 \cdot (0,94749)\,^x \)
8b)
ca. 10 timmar.
Copyright © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
