1.1 Polynom

Teori

Övningar

Vad är ett polynom?

Ordet "poly" betyder på latin många och "nom" som egentligen betyder namn, har i matematiken innebörden term. Så "polynom" betyder många termer. Närmare bestämt är ett polynom en summa av många termer. Men vad exakt är en term och hur ser den ut? När man pratar om polynom menar man med term ett uttryck av formen:

\[ a \cdot x^n \]

där n är ett positivt heltal eller 0. Dvs n får varken vara negativt eller ett bråk (decimaltal). Talet a kallas kofficient och är en godtycklig, men fast konstant. x däremot är en variabel som kan anta vilka värden som helst. Ett exempel på en term är:

\[ -8 \cdot x^3 \]

Om ett polynom ska vara en summa av många sådana termer då måste polynom vara en speciell form av ett uttryck. Och tilldelar man det till ett y blir det en speciell form av en funktion därför att varje term innehåller variabeln x. Samma sak gäller förstås för en summa av termer. Polynom är en generalisering samt utvidgning av de typer av funktioner vi sysslat hittills med. I Matte A-kursen hade vi bara linjära eller 1:a gradsfunktioner av typ\[ y = 4\,x + 12 \]

Här förekommer variabeln \( x \) högst som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. Grafen är en rät linje. I Matte B-kursen gick vi ett steg längre och arbetade med 2:a gradsfunktioner av typ\[ y = 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]

Variabeln \( x \) förekommer här högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2. Grafen är en parabel. Redan dessa funktioner är polynom utan att vi kallade dem så eftersom de är summor av termer som uppfyller de begränsningar som vi införde för n - nämligen att vara ett positivt heltal eller 0. Men om du har det svårt att se att även konstanterna 12 och -16 i exemplen ovan är "termer" i den inledningsvis definierade bemärkelsen, kom ihåg att man kan skriva 12 som:

\[ 12 \cdot x^0 \]

därför att enligt potenslagarna är \( x^0 = 1 \). Samma sak är det med -16 som också är en term därför att -16 kan anses som \( -16 = -16 \cdot x^0 \).

I Matte C-kursen ska vi nu lära oss att hantera även polynom av högre grad än 2 som t.ex.\[ y = x^4 - 29\;x^2 + 100 \] vars graf ser ut så här:

Det känns naturligt att kalla detta för ett 4:e gradspolynom vilket leder oss till det allmänna begreppet grad av ett polynom.

Ett polynoms grad

Den högst förekommande x-potensen i ett polynom dvs den största exponenten till x bland polynomets alla termer kallas polynomets grad. Den term som innehåller denna högsta x-potens kallas polynomets ledande term.

I exemplet ovan har polynomet

\( x^4 - 29\;x^2 + 100 \)

graden 4 eftersom den högst förekommande x-potensen har exponenten 4. Den ledande termen är \( x^4 \).

Generellt har ett polynom av graden n följande form\[ a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad . . . \quad + a_1 \cdot x + a_0 \]

Den ledande termen är \( a_n \cdot x^4 \) och den konstanta termen är \( a_0 \). Även om det ur ren beräkningssynpunkt är irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer brukar man börja med den ledande termen och avsluta med den konstanta termen.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=doxCjrqxoRM

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol7/order_operations.html

http://math.about.com/gi/dynamic/offsite.htm?site=http://www.funbrain.com/algebra/