1.1 Lösning 11

Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken:

\[\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad | + (x^2 + 4\,x + 1) \\ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2} & & \qquad | \cdot 2 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) & = 3 & & \qquad | - 3 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 & = 0 \\ \end{align}\]

Nu ser man att uttrycket \( x^2 + 4\,x + 1 \) förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation. Följande substitution åstadkommer detta\[ t = x^2 + 4\,x + 1 \]

Ersätter man i 4:e gradsekvationen \( (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 = 0 \) enligt substitutionen ovan \( x^2 + 4\,x + 1 \) med \( \displaystyle t \) får man 2:e gradsekvationen \( t^2 + 2\,t - 3 = 0 \) som kan lösas med pq-formeln:

\[\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0 \\ t_{1,2} & = - 1 \pm \sqrt{1 + 3} \\ t_{1,2} & = - 1 \pm 2 \\ t_1 & = 1 \\ t_2 & = - 3 \\ \end{align}\]

Sätter vi först \( t_1 = 1 \) tillbaka i substitutionen ovan\[ 1 = x^2 + 4\,x + 1 \] får vi:

\[\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = 1 & & | - 1 \\ x^2 + 4\,x & = 0 \\ \end{align}\]

Eftersom detta är en 2:e gradsekvation som saknar konstant term kan vi genom att bryta ut x på vänsterledet och använda nollproduktmetoden lösa den enkelt:

\[\begin{align} x\;(x + 4) & = 0 \\ \\ x_1 & = 0 \\ x_2 & = - 4 \\ \end{align}\]

Prövning av \( x_1 = 1,64 \):

VL\[ \sqrt{1,64^2 + 1} = 1,92 \]

HL\[ 3\cdot1,64 - 3 = 1,92 \]

VL = HL \( \Rightarrow\, x = 1,64 \) är en sann rot. I denna uppgift räcker det att visa en sann rot.

Den andra lösningen \( x_1 = 0,61 \) är en falsk rot vilket återstår att visa.